O que precisa ser feito: avaliar a integral iterada primeiro em x (já que o enunciado dá essa ordem) e depois em y, chegando ao valor numérico final.
Passo 2
Entendendo a operação interna: na integral interna \int_{0}^{y} x e^{y}\,dx a variável de integração é x. Portanto, para essa integral podemos tratar e^{y} como constante, pois y é fixo quando integramos em x. Assim usamos a propriedade:
\int_{0}^{y} x e^{y}\,dx = e^{y}\int_{0}^{y} x\,dx.
Aqui e^{y} é vista como constante multiplicativa em relação a x.
Passo 3
Calcule a integral simples \int_{0}^{y} x\,dx. A primitiva de x em relação a x é \tfrac{x^{2}}{2}. Então:
Fatoramos \tfrac{1}{2} porque é constante. O problema seguinte é calcular \int_{0}^{1} y^{2} e^{y}\,dy.
Passo 5
Usamos integração por partes para \int y^{2} e^{y}\,dy. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos u de forma que sua derivada seja mais simples, e dv algo cuja primitiva seja simples. Para polinômios vezes exponencial, é conveniente escolher u= polinômio e dv=e^{y}dy.