1. \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} x e^{y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{y} x e^{y}\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • Os limites internos são x indo de 0 até y.
  • Os limites externos são y indo de 0 até 1.
  • A integranda é x e^{y}.
O que precisa ser feito: avaliar a integral iterada primeiro em x (já que o enunciado dá essa ordem) e depois em y, chegando ao valor numérico final.

Passo 2

Entendendo a operação interna: na integral interna \int_{0}^{y} x e^{y}\,dx a variável de integração é x. Portanto, para essa integral podemos tratar e^{y} como constante, pois y é fixo quando integramos em x. Assim usamos a propriedade:
\int_{0}^{y} x e^{y}\,dx = e^{y}\int_{0}^{y} x\,dx.
Aqui e^{y} é vista como constante multiplicativa em relação a x.

Passo 3

Calcule a integral simples \int_{0}^{y} x\,dx. A primitiva de x em relação a x é \tfrac{x^{2}}{2}. Então:
\int_{0}^{y} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{y} = \frac{y^{2}}{2}-0=\frac{y^{2}}{2}.
Substituindo de volta:
\int_{0}^{y} x e^{y}\,dx = e^{y}\cdot\frac{y^{2}}{2} = \frac{y^{2}}{2}e^{y}.

Passo 4

Agora a integral dupla ficou reduzida a uma integral simples em y:
\int_{0}^{1}\left(\frac{y^{2}}{2}e^{y}\right)\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} y^{2} e^{y}\,dy.
Fatoramos \tfrac{1}{2} porque é constante. O problema seguinte é calcular \int_{0}^{1} y^{2} e^{y}\,dy.

Passo 5

Usamos integração por partes para \int y^{2} e^{y}\,dy. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos u de forma que sua derivada seja mais simples, e dv algo cuja primitiva seja simples. Para polinômios vezes exponencial, é conveniente escolher u= polinômio e dv=e^{y}dy.
Escolha 1:
u = y^{2},\qquad dv = e^{y}\,dy.
Então
du = 2y\,dy,\qquad v = e^{y}.
Aplicando partes:
\int y^{2} e^{y}\,dy = y^{2} e^{y} - \int e^{y}\cdot 2y\,dy = y^{2} e^{y} - 2\int y e^{y}\,dy.

Passo 6

Agora calcular \int y e^{y}\,dy também por partes. Escolha:
u = y,\qquad dv = e^{y}\,dy.
Então
du = dy,\qquad v = e^{y}.
Aplicando partes:
\int y e^{y}\,dy = y e^{y} - \int e^{y}\,dy = y e^{y} - e^{y} + C = e^{y}(y-1)+C.
Substituindo de volta em Passo 5:
\int y^{2} e^{y}\,dy = y^{2} e^{y} - 2\bigl(e^{y}(y-1)\bigr) + C.
Agrupando fatores:
\int y^{2} e^{y}\,dy = e^{y}\bigl(y^{2} - 2y + 2\bigr) + C.

Passo 7

Agora aplicamos os limites de 0 a 1 em \int_{0}^{1} y^{2} e^{y}\,dy:
\int_{0}^{1} y^{2} e^{y}\,dy = \left[e^{y}\bigl(y^{2} - 2y + 2\bigr)\right]_{0}^{1}.
Avalie em y=1:
e^{1}\bigl(1^{2} - 2\cdot 1 + 2\bigr) = e(1 - 2 + 2) = e\cdot 1 = e.
Avalie em y=0:
e^{0}\bigl(0^{2} - 2\cdot 0 + 2\bigr) = 1\cdot 2 = 2.
Portanto
\int_{0}^{1} y^{2} e^{y}\,dy = e - 2.

Passo 8

Lembre-se do fator \tfrac{1}{2} que tiramos antes. Logo a integral original é
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} y^{2} e^{y}\,dy = \frac{1}{2}(e - 2) = \frac{e-2}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{e-2}{2}

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