\iint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S}, onde \vec{F}(x, y, z)=<y^{7} z^{5}, 3 y z, e^{y^{2}} \operatorname{sen}(x)>\mathrm{e} S é a superficie formada pelo paraboloide S_{1}: z=9-x^{2}-y^{2}, 0 \leq z \leq 9 e pelo disco S_{2}: x^{2}+y^{2} \leq 9, z=0.
Escolha uma opção:
◯ a. 261.80
◯ b. 3435.33
◯ c. 1145.11
◯ d. 214.47
◯ e. 335.10

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Vetor campo: \vec{F}(x,y,z)=\langle y^{7}z^{5},\,3yz,\,e^{y^{2}}\operatorname{sen}(x)\rangle.
  • Superfície fechada S composta por duas partes:
    • S_{1}: o paraboloide \;z=9-x^{2}-y^{2}, com 0\le z\le9.
    • S_{2}: o disco no plano z=0 definido por \;x^{2}+y^{2}\le9.
  • O que é pedido: calcular o fluxo total \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}.

Passo 2

Estratégia que vou usar (explicando a ferramenta como se fosse uma receita):
  • Quando temos o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada, uma maneira poderosa é usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Ele diz que, se o campo \vec{F} é suficientemente regular no volume V interno à superfície fechada S, então \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\;dV.
  • Aqui V é o sólido limitado por S_{1} e S_{2} (o “paraboloide fechado” acima do disco). O campo dado é polinomial ou exponencial em y,x e contínuo, então as hipóteses do teorema estão satisfeitas e podemos aplicá-lo sem problema.

Passo 3

Calcular a divergência \operatorname{div}\vec{F}:
  • Definição: \operatorname{div}\vec{F}=\dfrac{\partial}{\partial x}F_{1}+\dfrac{\partial}{\partial y}F_{2}+\dfrac{\partial}{\partial z}F_{3}.
  • Para o nosso campo:
    • F_{1}(x,y,z)=y^{7}z^{5}. Como F_{1} não depende de x, temos \dfrac{\partial}{\partial x}F_{1}=0.
    • F_{2}(x,y,z)=3yz. Derivando em relação a y: \dfrac{\partial}{\partial y}F_{2}=3z.
    • F_{3}(x,y,z)=e^{y^{2}}\operatorname{sen}(x). Essa função não depende de z, então \dfrac{\partial}{\partial z}F_{3}=0.
  • Logo, \operatorname{div}\vec{F}=0+3z+0=3z.

Passo 4

Escrever o fluxo como integral tripla sobre o volume V:
  • Pelo Teorema da Divergência, \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}3z\;dV.
  • O domínio V é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que \;x^{2}+y^{2}\le9 e 0\le z\le 9-x^{2}-y^{2}.

Passo 5

Passar para coordenadas cilíndricas (explicando por que e como):
  • Em coordenadas cilíndricas usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z. O elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz (o fator r é o jacobiano da mudança de coordenadas).
  • Limites no domínio:
    • \theta vai de 0 a 2\pi.
    • r vai de 0 a 3 (pois x^{2}+y^{2}\le9\Rightarrow r^{2}\le9).
    • z vai de 0 até 9-r^{2}.
  • A integral fica \iiint_{V}3z\;dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{0}^{9-r^{2}}3z\; r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 6

Fazer a integração em z primeiro (passo a passo):
  • Integrando em z: \int_{0}^{9-r^{2}}3z\;dz=\left.\frac{3}{2}z^{2}\right|_{0}^{9-r^{2}}=\frac{3}{2}(9-r^{2})^{2}.
  • Substituindo na integral completa: \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\frac{3}{2}r(9-r^{2})^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral em r (uso de substituição para ficar limpinho):
  • Retiro fator angular: \displaystyle \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi. Assim \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}= \frac{3}{2}\cdot 2\pi \int_{0}^{3} r(9-r^{2})^{2}\,dr = 3\pi \int_{0}^{3} r(9-r^{2})^{2}\,dr.
  • Fazer a substituição \;u=9-r^{2}\Rightarrow du=-2r\,dr, logo r\,dr=-\dfrac{1}{2}du.
    • Quando r=0, u=9.
    • Quando r=3, u=0.
  • A integral em r transforma-se em \int_{0}^{3} r(9-r^{2})^{2}\,dr = \int_{u=9}^{0} u^{2}\left(-\frac{1}{2}\right)du = \frac{1}{2}\int_{0}^{9} u^{2}\,du.
  • Calcular: \frac{1}{2}\int_{0}^{9} u^{2}\,du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{9}=\frac{1}{2}\cdot\frac{9^{3}}{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{729}{3}=\frac{1}{2}\cdot243=121{,}5.

Passo 8

Combinar os fatores e obter a expressão final exata:
  • Voltando ao fator angular: \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=3\pi\cdot 121{,}5 = 364{,}5\pi.
  • Esta é a forma exata; agora pode-se avaliar numericamente se desejar.

Resposta

c. 1145,11

Exercícios relacionados