\iint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S}, onde \vec{F}(x, y, z)=<y^{7} z^{5}, 3 y z, e^{y^{2}} \operatorname{sen}(x)>\mathrm{e} S é a superficie formada pelo paraboloide S_{1}: z=9-x^{2}-y^{2}, 0 \leq z \leq 9 e pelo disco S_{2}: x^{2}+y^{2} \leq 9, z=0.
Escolha uma opção:
◯ a. 261.80
◯ b. 3435.33
◯ c. 1145.11
◯ d. 214.47
◯ e. 335.10
S_{1}: o paraboloide \;z=9-x^{2}-y^{2}, com 0\le z\le9.
S_{2}: o disco no plano z=0 definido por \;x^{2}+y^{2}\le9.
O que é pedido: calcular o fluxo total\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}.
Passo 2
Estratégia que vou usar (explicando a ferramenta como se fosse uma receita):
Quando temos o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada, uma maneira poderosa é usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Ele diz que, se o campo \vec{F} é suficientemente regular no volume V interno à superfície fechada S, então\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\;dV.
Aqui V é o sólido limitado por S_{1} e S_{2} (o “paraboloide fechado” acima do disco). O campo dado é polinomial ou exponencial em y,x e contínuo, então as hipóteses do teorema estão satisfeitas e podemos aplicá-lo sem problema.
F_{1}(x,y,z)=y^{7}z^{5}. Como F_{1} não depende de x, temos \dfrac{\partial}{\partial x}F_{1}=0.
F_{2}(x,y,z)=3yz. Derivando em relação a y: \dfrac{\partial}{\partial y}F_{2}=3z.
F_{3}(x,y,z)=e^{y^{2}}\operatorname{sen}(x). Essa função não depende de z, então \dfrac{\partial}{\partial z}F_{3}=0.
Logo,\operatorname{div}\vec{F}=0+3z+0=3z.
Passo 4
Escrever o fluxo como integral tripla sobre o volume V:
Pelo Teorema da Divergência,\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}3z\;dV.
O domínio V é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que \;x^{2}+y^{2}\le9 e 0\le z\le 9-x^{2}-y^{2}.
Passo 5
Passar para coordenadas cilíndricas (explicando por que e como):
Em coordenadas cilíndricas usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z. O elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz (o fator r é o jacobiano da mudança de coordenadas).
Limites no domínio:
\theta vai de 0 a 2\pi.
r vai de 0 a 3 (pois x^{2}+y^{2}\le9\Rightarrow r^{2}\le9).
z vai de 0 até 9-r^{2}.
A integral fica\iiint_{V}3z\;dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{0}^{9-r^{2}}3z\; r\,dz\,dr\,d\theta.
Passo 6
Fazer a integração em z primeiro (passo a passo):
Integrando em z:\int_{0}^{9-r^{2}}3z\;dz=\left.\frac{3}{2}z^{2}\right|_{0}^{9-r^{2}}=\frac{3}{2}(9-r^{2})^{2}.
Substituindo na integral completa:\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\frac{3}{2}r(9-r^{2})^{2}\,dr\,d\theta.
Passo 7
Calcular a integral em r (uso de substituição para ficar limpinho):