Calcule a integral
, onde
é a metade superior da esfera
. a) em coordenadas cilíndricas. b) em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
, onde
é a metade superior da esfera de raio
, ou seja o conjunto
As perguntas são:
(a) calcular usando coordenadas cilíndricas;
(b) calcular usando coordenadas cartesianas (ou seja, montando as integrais em
e avaliando).
(a) calcular
(b) calcular
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Região
é a meia-esfera superior de raio (limite da esfera é ); - Integrando a função
sobre ; - O domínio projetado no plano
é o disco .
Passo 2
Coordenadas cilíndricas — mudança de variáveis e elemento de volume.
Explicação didática rápida: em coordenadas cilíndricas usamos
onde
,
é o ângulo no plano
e
fica igual. O elemento de volume vale
O fator
aparece porque a transformação do plano
para
tem Jacobiano
— geometricamente é a largura do anel elemental no plano.
Agora determinar os limites para a meia-esfera: para cada raio
no plano, a altura
vai de
(plano
) até a superfície esférica
. O disco de projeção no plano tem
e
.
Portanto a integral em cilíndricas fica
Passo 3
Avaliar a integral em coordenadas cilíndricas passo a passo.
Calcule a integral interna em
:
Assim a integral reduz para
Agora integramos em
. Primeiro simplificar integrando o integrando:
Então
Finalmente a integral em
:
Portanto, pela avaliação direta em coordenadas cilíndricas obtemos
.
Passo 4
Coordenadas cartesianas — montar a integral e avaliar.
Em coordenadas cartesianas a ideia é projetar
no plano
. A projeção é o disco
Para cada ponto
a coordenada
varia de
até a superfície esférica
. Assim, escrevemos a integral tripla como uma integral iterada:
Avaliar a integral interna em
:
Logo
Passo 5
Avaliar a integral dupla sobre o disco
.
Para calcular
é muito prático usar coordenadas polares no plano
(a mudança é apenas para avaliar essa área; a integral original está montada em cartesianas). Em polares temos
e
com
,
. Assim
Calcule a integral em
:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Por fim integrar em
:
Portanto, montando a integral em cartesianas e avaliando obtemos também
.
Resposta
(a)
(b)
(b)