Calcule a integral \iiint_{E} z d V, onde E é a metade superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1. a) em coordenadas cilíndricas. b) em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla \iiint_{E} z\,dV, onde E é a metade superior da esfera de raio 1, ou seja o conjunto
E=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1,\; z\ge 0\}.
As perguntas são:
(a) calcular \iiint_{E} z\,dV usando coordenadas cilíndricas;
(b) calcular \iiint_{E} z\,dV usando coordenadas cartesianas (ou seja, montando as integrais em x,y,z e avaliando).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Região E é a meia-esfera superior de raio 1 (limite da esfera é x^{2}+y^{2}+z^{2}=1);
  • Integrando a função z sobre E;
  • O domínio projetado no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\le 1.

Passo 2

Coordenadas cilíndricas — mudança de variáveis e elemento de volume.
Explicação didática rápida: em coordenadas cilíndricas usamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge 0, \theta é o ângulo no plano xy e z fica igual. O elemento de volume vale
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
O fator r aparece porque a transformação do plano (r,\theta) para (x,y) tem Jacobiano r — geometricamente é a largura do anel elemental no plano.
Agora determinar os limites para a meia-esfera: para cada raio r no plano, a altura z vai de 0 (plano xy) até a superfície esférica z=\sqrt{1-r^{2}}. O disco de projeção no plano tem 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi.
Portanto a integral em cilíndricas fica
\iiint_{E} z\,dV=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{\sqrt{1-r^{2}}} z\; r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Avaliar a integral em coordenadas cilíndricas passo a passo.
Calcule a integral interna em z:
\int_{z=0}^{\sqrt{1-r^{2}}} z\; r\,dz = r\int_{0}^{\sqrt{1-r^{2}}} z\,dz = r\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{1-r^{2}}} = r\cdot\frac{1-r^{2}}{2}.
Assim a integral reduz para
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \frac{r(1-r^{2})}{2}\,dr\,d\theta.
Agora integramos em r. Primeiro simplificar integrando o integrando:
\frac{r(1-r^{2})}{2}=\frac{1}{2}\big(r-r^{3}\big).
Então
\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\big(r-r^{3}\big)\,dr =\frac{1}{2}\left[\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}.
Finalmente a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{8}\,d\theta=\frac{1}{8}\cdot 2\pi=\frac{\pi}{4}.
Portanto, pela avaliação direta em coordenadas cilíndricas obtemos \dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Coordenadas cartesianas — montar a integral e avaliar.
Em coordenadas cartesianas a ideia é projetar E no plano xy. A projeção é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Para cada ponto (x,y)\in D a coordenada z varia de 0 até a superfície esférica z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}. Assim, escrevemos a integral tripla como uma integral iterada:
\iiint_{E} z\,dV = \iint_{D}\left(\int_{z=0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} z\,dz\right)dx\,dy.
Avaliar a integral interna em z:
\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} z\,dz = \left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} = \frac{1}{2}\big(1-x^{2}-y^{2}\big).
Logo
\iiint_{E} z\,dV = \frac{1}{2}\iint_{D}\big(1-x^{2}-y^{2}\big)\,dx\,dy.

Passo 5

Avaliar a integral dupla sobre o disco D.
Para calcular \iint_{D}(1-x^{2}-y^{2})\,dx\,dy é muito prático usar coordenadas polares no plano xy (a mudança é apenas para avaliar essa área; a integral original está montada em cartesianas). Em polares temos x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy=r\,dr\,d\theta com 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi. Assim
\frac{1}{2}\iint_{D}\big(1-x^{2}-y^{2}\big)\,dx\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(1-r^{2})\,r\,dr\,d\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{1}(1-r^{2})\,r\,dr=\int_{0}^{1}\big(r-r^{3}\big)\,dr =\left[\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}.
Por fim integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{8}\,d\theta=\frac{1}{8}\cdot 2\pi=\frac{\pi}{4}.
Portanto, montando a integral em cartesianas e avaliando obtemos também \dfrac{\pi}{4}.

Resposta

(a) \dfrac{\pi}{4}
(b) \dfrac{\pi}{4}

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