Calcule as integrais duplas: \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, \quad D é a região limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4. Dica: no ítem b) use coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA,
onde D é a região limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4 (ou seja, o disco de raio 2 centrado na origem). Vou apresentar duas maneiras comuns de resolver esse tipo de integral:
(a) fazer diretamente em coordenadas cartesianas (integração por “fatias”), e
(b) usar coordenadas polares (a dica do enunciado).
Em ambos os casos o objetivo final é o mesmo: obter o valor numérico da integral sobre o disco.
Passo 2
Comentário útil sobre simetria (que ajuda a checar resultados e às vezes simplifica contas).
A função x^{2}+y^{2} é simétrica em x e y. Portanto
Resolver as duas integrais que aparecem usando substituição trigonométrica.
Fazer x=2\sin t. Então dx=2\cos t\,dt e \sqrt{4-x^{2}}=2\cos t. Quando x vai de 0 a 2, t vai de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
Método (b): usar coordenadas polares (demonstração direta e muito simples — dica do enunciado).
Recordando as fórmulas de mudança para coordenadas polares: