Calcule as integrais duplas:
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, \quad D é a região limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4. Dica: no ítem b) use coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA,
onde D é a região limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4 (ou seja, o disco de raio 2 centrado na origem). Vou apresentar duas maneiras comuns de resolver esse tipo de integral:
(a) fazer diretamente em coordenadas cartesianas (integração por “fatias”), e
(b) usar coordenadas polares (a dica do enunciado).
Em ambos os casos o objetivo final é o mesmo: obter o valor numérico da integral sobre o disco.

Passo 2

Comentário útil sobre simetria (que ajuda a checar resultados e às vezes simplifica contas).
A função x^{2}+y^{2} é simétrica em x e y. Portanto
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = \iint_{D}x^{2}\,dA + \iint_{D}y^{2}\,dA.
Pela simetria do disco em torno da origem, \iint_{D}x^{2}\,dA=\iint_{D}y^{2}\,dA. Assim a integral total vale
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = 2\iint_{D}x^{2}\,dA.
Essa observação pode reduzir trabalho em alguns métodos; vou usá-la como controle, mas a seguir faço os dois cálculos completos.

Passo 3

Método (a): montar a integral em coordenadas cartesianas (fatias verticais).
O disco D pode ser descrito por
-2\le x\le 2,\qquad -\sqrt{4-x^{2}}\le y\le \sqrt{4-x^{2}}.
Portanto a integral é
I=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA =\int_{x=-2}^{2}\left(\int_{y=-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\!(x^{2}+y^{2})\,dy\right)dx.

Passo 4

Calcule a integral interna em y. Para x fixo,
\int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}(x^{2}+y^{2})\,dy = \left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=-\sqrt{4-x^{2}}}^{y=\sqrt{4-x^{2}}}.
Avaliação das extremidades dá
2x^{2}\sqrt{4-x^{2}}+\frac{2}{3}\bigl(4-x^{2}\bigr)^{3/2}.
Logo
I=\int_{-2}^{2}\left(2x^{2}\sqrt{4-x^{2}}+\frac{2}{3}\bigl(4-x^{2}\bigr)^{3/2}\right)dx.

Passo 5

Simplificar a expressão antes de integrar. Fatorando 2\sqrt{4-x^{2}}:
I=\int_{-2}^{2}2\sqrt{4-x^{2}}\left(x^{2}+\frac{4-x^{2}}{3}\right)dx =\frac{4}{3}\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,(x^{2}+2)\,dx.
Como as funções \sqrt{4-x^{2}} e x^{2} são pares, o integrando é par, então podemos integrar de 0 a 2 e multiplicar por 2:
I=\frac{8}{3}\left(\int_{0}^{2}x^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx+2\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx\right).

Passo 6

Resolver as duas integrais que aparecem usando substituição trigonométrica.
Fazer x=2\sin t. Então dx=2\cos t\,dt e \sqrt{4-x^{2}}=2\cos t. Quando x vai de 0 a 2, t vai de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
Primeira integral:
\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx =\int_{0}^{\pi/2} (2\cos t)(2\cos t)\,dt =4\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}t\,dt.
Usando \cos^{2}t=\tfrac{1+\cos 2t}{2} obtemos
4\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}t\,dt =4\cdot\frac{\pi}{4}=\pi.
Portanto
\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\pi.

Passo 7

Segunda integral:
\int_{0}^{2}x^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.
Com x=2\sin t temos x^{2}=4\sin^{2}t e, como acima, \sqrt{4-x^{2}}=2\cos t e dx=2\cos t\,dt. Logo o integrando vira
4\sin^{2}t\cdot 2\cos t\cdot 2\cos t =16\sin^{2}t\cos^{2}t.
Assim
\int_{0}^{2}x^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx = 16\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}t\cos^{2}t\,dt.
Usar \sin^{2}t\cos^{2}t=\tfrac{1}{4}\sin^{2}2t e \sin^{2}u=\tfrac{1-\cos 2u}{2}:
16\cdot\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}2t\,dt =4\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}2t\,dt =4\int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos 4t}{2}\,dt =2\left[t-\frac{\sin 4t}{4}\right]_{0}^{\pi/2}=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi.
Portanto
\int_{0}^{2}x^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\pi.

Passo 8

Substituir os resultados no passo 5:
I=\frac{8}{3}\left(\pi + 2\pi\right)=\frac{8}{3}\cdot 3\pi=8\pi.
Concluímos, pelo método cartesiano (fatias), que
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = 8\pi.

Passo 9

Método (b): usar coordenadas polares (demonstração direta e muito simples — dica do enunciado).
Recordando as fórmulas de mudança para coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta,
onde r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo polar. No disco de raio 2 temos 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi. Além disso
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Portanto a integral fica
I=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 10

Calcular a integral em r e \theta:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2}=\frac{16}{4}=4.
Logo
I=\int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta =4\cdot 2\pi =8\pi.
Confere com o resultado obtido no método (a). O uso das coordenadas polares torna o cálculo bem direto porque a integranda dependia só de r.

Resposta

(a) 8\pi
(b) 8\pi

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