1. Uma ilha é habitada por uma população de lebres, sendo esta população representada por P(t)=300+120 \operatorname{sen}\left(\pi\left(\frac{2+t}{5}\right)\right), t medido em anos.
    (a) O tamanho populacional oscila? Por quê?
    (b) Qual o tempo entre os dois máximos?
    (c) Para 0<t<10 quando ocorre o mínimo da população
    (a) Sim, pois a função P(t) é uma função trigonométrica que é periódica e oscila.
    (b) Os máximos ocorrem quando sen \left(\pi\left(\frac{2+t}{5}\right)\right)=1, assim:
    \operatorname{sen}\left(\pi\left(\frac{2+t}{5}\right)\right)=1 \Rightarrow \pi\left(\frac{2+t}{5}\right)=\frac{\pi}{2}+2 k \pi \Rightarrow t=\frac{1}{2}+10 k, k inteiro
    Como t representa o número de anos t \geq 0 e k=0,1,2, \ldots
    k=0 \Rightarrow t=0.5
    k=1 \Rightarrow t=10.5
    Assim, \Delta t=10 anos
    (c) Os mínimos ocorrem quando sen \left(\pi\left(\frac{2+t}{5}\right)\right)=-1, assim:
    \operatorname{sen}\left(\pi\left(\frac{2+t}{5}\right)\right)=-1 \Rightarrow t=\frac{11}{2}+10 k, k inteiro
    k=0 \Rightarrow t=5.5
    k=1 \Rightarrow t=15.5
    O mínimo ocorre para t=5.5 anos, ou seja, 5 anos e 6 meses.

Passo 1

O enunciado dá o modelo da população de lebres numa ilha como
P(t)=300+120\,\operatorname{sen}\!\biggl(\pi\frac{t+2}{5}\biggr),
em que t está em anos. Vamos usar conceitos de funções trigonométricas periódicas para (a) ver se ela oscila, (b) obter o período (tempo entre máximos) e (c) achar onde dá o valor mínimo em 0<t<10.

Passo 2

A oscilação vem do termo trigonométrico \operatorname{sen}(\cdot), que é periódico e varia entre -1 e 1. Assim, P(t) varia entre
300+120\cdot(-1)=180 \quad\text{e}\quad 300+120\cdot1=420,
o que mostra que P(t) sobe e desce continuamente, ou seja, oscila.

Passo 3

Para achar o período, note o argumento da seno é
\varphi(t)=\pi\frac{t+2}{5}.
Uma função \operatorname{sen}(\varphi) tem período 2\pi em \varphi. Logo, em t o período T satisfaz
\varphi(t+T)-\varphi(t)=2\pi \quad\Longrightarrow\quad \pi\frac{(t+T)+2}{5}-\pi\frac{t+2}{5}=2\pi
\pi\frac{T}{5}=2\pi \quad\Longrightarrow\quad T=10.
Assim, o tempo entre dois máximos é 10 anos.

Passo 4

O valor mínimo ocorre quando
\operatorname{sen}\!\biggl(\pi\frac{t+2}{5}\biggr)=-1.
Isto vale se
\pi\frac{t+2}{5}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \quad\Longrightarrow\quad \frac{t+2}{5}=-\frac12+2k \quad\Longrightarrow\quad t=-2,5+10k-2=-4{,}5+10k.
No intervalo 0<t<10, o único inteiro k que dá t>0 é k=1, resultando em t=5{,}5 anos.

Resposta

(a) Sim, pois o termo \operatorname{sen}(\cdot) é periódico e faz P(t) oscilar entre 180 e 420.
(b) 10 anos.
(c) O mínimo ocorre em t=5{,}5 anos.

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