Ilustre e justifique o perfil de velocidade para:
a) Fluido ideal
escoando sobre uma placa plana horizontal. Sabe-se que antes de entrar em contato com a placa, ambos apresentam velocidade
constante.
a) Fluido ideal
escoando sobre uma placa plana horizontal. Sabe-se que antes de entrar em contato com a placa, ambos apresentam velocidade
Passo 1
O enunciado pede para desenhar (ilustrar) e justificar o perfil de velocidade para o caso:
- Um fluido ideal (isto é, sem viscosidade) escoando sobre uma placa plana horizontal.
- Antes de entrar em contato com a placa, o escoamento tem velocidade constante
.
O que é solicitado: - Mostrar como a velocidade varia com a distância à placa (perfil
) e justificar por que esse é o perfil correto dadas as hipóteses.
Informações dadas:
- Velocidade uniforme antes do contato:
. - Placa é plana e horizontal.
- Fluido ideal (viscosidade nula).
Passo 2
Definição das variáveis e do sistema de coordenadas (muito importante para não se perder):
- Escolher o eixo
paralelo à placa (direção do escoamento). - Escolher o eixo
perpendicular à placa, com na superfície da placa e no fluido acima da placa. - Denotar as componentes da velocidade por
(componente em ) e (componente em ). - Denotar a pressão por
e a densidade por (constante se o fluido for incompressível).
Explicação breve do que significa “fluido ideal”: significa que a viscosidade é zero; portanto, não há tensões de cisalhamento viscosas e a condição de não deslizamento (“no-slip”) da mecânica dos fluidos viscosos não se aplica. A única condição física obrigatória na parede é a impermeabilidade: a componente normal da velocidade na parede deve ser nula.
Passo 3
Escrever as equações fundamentais que governam um escoamento incompressível, estacionário e inviscid (Euler e continuidade), para sabermos quais soluções são admissíveis.
Equação da continuidade (incompressibilidade):
Equações de Euler (momentum, forma bidimensional estacionária e sem forças volumétricas relevantes aqui):
Explicação das fórmulas:
- Em cada equação, o termo da esquerda representa aceleração convectiva (variação da velocidade vista por uma partícula do fluido).
-
é a densidade do fluido. - Os termos do lado direito vêm do gradiente de pressão; não há termos de tensão viscosa porque o fluido é ideal.
Passo 4
Propor uma solução candidata simples coerente com as condições iniciais: como o escoamento longe da placa tem velocidade constante
, tentar a solução estacionária e uniforme
Motivo da escolha: é a forma mais simples que preserva a velocidade uniforme antes de encontrar a placa e respeita que o escoamento é paralelo à placa.
Passo 5
Verificar que a solução candidata satisfaz a continuidade e as equações de Euler.
Primeiro, continuidade:
Logo, a continuidade é satisfeita.
Agora substituir em Euler. Para a equação de
-momento:
Isto implica
Para a equação de
-momento:
o que dá
Conclusão: com essa solução,
, ou seja, a pressão é constante (ou, no máximo, uma constante no domínio). Não há contradição: uma pressão uniforme com velocidade uniforme é solução das equações de Euler.
Passo 6
Verificar as condições na parede (condições de contorno) e justificar por que a solução é fisicamente admissível.
Condição de impermeabilidade (obrigatória mesmo para fluido ideal): a componente normal da velocidade na parede deve ser zero. A parede é
, normal é direção
, logo
que é satisfeita pela nossa solução
.
Condição tangencial: para fluido ideal não há razão física (nem matemática nas equações de Euler) para impor
. A condição de não deslizamento
é uma consequência da viscosidade e, portanto, não vale quando viscosidade é nula. Assim, o componente tangencial pode igualar o da corrente livre. Portanto
é admissível.
Passo 7
Interpretação física e justificativa final: perfil de velocidade
Da verificação anterior, a solução uniforme
satisfaz as equações de movimento, a continuidade e a condição de impermeabilidade na parede, e não entra em contradição com a ausência de viscosidade (já que não se exige que
se anule na parede). Logo, o perfil de velocidade para o fluido ideal escoando sobre a placa é um perfil plano (uniforme) igual a
em toda a região acima da placa.
Fazer o desenho mental/rápido: eixo horizontal é a componente
, eixo vertical é
. A curva do perfil é uma linha horizontal situada em
(uma reta paralela ao eixo
).
Passo 8
Comparação didática com o caso viscoso (para fixar a intuição): por que na vida real não se vê exatamente esse perfil
- Em um fluido real (viscoso) vale a condição de não deslizamento:
. Assim, imediatamente perto da parede forma-se uma camada onde a velocidade cresce do valor (na parede) até aproximadamente (longe da parede) — é a camada limite (boundary layer). Nesse caso o perfil não é uniforme, tem gradiente próximo à parede. - No modelo ideal esse gradiente não existe porque as tensões viscosas são zero; portanto não existe “camada limite” no sentido de variação suave da velocidade: a transição de
na parede para o valor livre é instantânea porque não há necessidade de ajustar a velocidade tangencial.
Passo 9
Limitações e observações finais (importante para prova e para saber quando usar essa solução)
- O resultado é uma idealização: o modelo de fluido ideal é útil para problemas onde os efeitos viscosos são desprezíveis (por exemplo longe de superfícies ou para estimativas de grande escala). Próximo a superfícies físicas os efeitos viscosos dominam e a solução real terá boundary layer.
- A solução uniforme é a solução trivial e admissível das equações de Euler para fluxos paralelos sobre uma placa plana alinhada com o escoamento. Não contradiz a condição de impermeabilidade e não requer tensão de cisalhamento.