Ilustre e justifique o perfil de velocidade para:
a) Fluido ideal
escoando sobre uma placa plana horizontal. Sabe-se que antes de entrar em contato com a placa, ambos apresentam velocidade V constante.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar (ilustrar) e justificar o perfil de velocidade para o caso:
  • Um fluido ideal (isto é, sem viscosidade) escoando sobre uma placa plana horizontal.
  • Antes de entrar em contato com a placa, o escoamento tem velocidade constante \,V\,.
    O que é solicitado:
  • Mostrar como a velocidade varia com a distância à placa (perfil u(y)) e justificar por que esse é o perfil correto dadas as hipóteses.
Informações dadas:
  • Velocidade uniforme antes do contato: \,V\,.
  • Placa é plana e horizontal.
  • Fluido ideal (viscosidade nula).

Passo 2

Definição das variáveis e do sistema de coordenadas (muito importante para não se perder):
  • Escolher o eixo x paralelo à placa (direção do escoamento).
  • Escolher o eixo y perpendicular à placa, com y=0 na superfície da placa e y>0 no fluido acima da placa.
  • Denotar as componentes da velocidade por \,u(x,y)\, (componente em x) e \,v(x,y)\, (componente em y).
  • Denotar a pressão por \,p(x,y)\, e a densidade por \,\rho (constante se o fluido for incompressível).
Explicação breve do que significa “fluido ideal”: significa que a viscosidade é zero; portanto, não há tensões de cisalhamento viscosas e a condição de não deslizamento (“no-slip”) da mecânica dos fluidos viscosos não se aplica. A única condição física obrigatória na parede é a impermeabilidade: a componente normal da velocidade na parede deve ser nula.

Passo 3

Escrever as equações fundamentais que governam um escoamento incompressível, estacionário e inviscid (Euler e continuidade), para sabermos quais soluções são admissíveis.
Equação da continuidade (incompressibilidade):
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
Equações de Euler (momentum, forma bidimensional estacionária e sem forças volumétricas relevantes aqui):
u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x},
u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}.
Explicação das fórmulas:
  • Em cada equação, o termo da esquerda representa aceleração convectiva (variação da velocidade vista por uma partícula do fluido).
  • \rho é a densidade do fluido.
  • Os termos do lado direito vêm do gradiente de pressão; não há termos de tensão viscosa porque o fluido é ideal.

Passo 4

Propor uma solução candidata simples coerente com as condições iniciais: como o escoamento longe da placa tem velocidade constante \,V, tentar a solução estacionária e uniforme
u(x,y) = V,\qquad v(x,y) = 0.
Motivo da escolha: é a forma mais simples que preserva a velocidade uniforme antes de encontrar a placa e respeita que o escoamento é paralelo à placa.

Passo 5

Verificar que a solução candidata satisfaz a continuidade e as equações de Euler.
Primeiro, continuidade:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial V}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 + 0 = 0.
Logo, a continuidade é satisfeita.
Agora substituir em Euler. Para a equação de x-momento:
u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = V\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0.
Isto implica
0 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial p}{\partial x} = 0.
Para a equação de y-momento:
u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} = V\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0,
o que dá
0 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial p}{\partial y} = 0.
Conclusão: com essa solução, \partial p/\partial x = \partial p/\partial y = 0, ou seja, a pressão é constante (ou, no máximo, uma constante no domínio). Não há contradição: uma pressão uniforme com velocidade uniforme é solução das equações de Euler.

Passo 6

Verificar as condições na parede (condições de contorno) e justificar por que a solução é fisicamente admissível.
Condição de impermeabilidade (obrigatória mesmo para fluido ideal): a componente normal da velocidade na parede deve ser zero. A parede é y=0, normal é direção y, logo
v(x,0) = 0,
que é satisfeita pela nossa solução v\equiv 0.
Condição tangencial: para fluido ideal não há razão física (nem matemática nas equações de Euler) para impor u(x,0)=0. A condição de não deslizamento u(x,0)=0 é uma consequência da viscosidade e, portanto, não vale quando viscosidade é nula. Assim, o componente tangencial pode igualar o da corrente livre. Portanto u(x,0)=V é admissível.

Passo 7

Interpretação física e justificativa final: perfil de velocidade
Da verificação anterior, a solução uniforme
u(y)=V\quad\text{para todo }y\ge 0,\qquad v(y)=0
satisfaz as equações de movimento, a continuidade e a condição de impermeabilidade na parede, e não entra em contradição com a ausência de viscosidade (já que não se exige que u se anule na parede). Logo, o perfil de velocidade para o fluido ideal escoando sobre a placa é um perfil plano (uniforme) igual a V em toda a região acima da placa.
Fazer o desenho mental/rápido: eixo horizontal é a componente u, eixo vertical é y. A curva do perfil é uma linha horizontal situada em u=V (uma reta paralela ao eixo y).

Passo 8

Comparação didática com o caso viscoso (para fixar a intuição): por que na vida real não se vê exatamente esse perfil
  • Em um fluido real (viscoso) vale a condição de não deslizamento: u(x,0)=0. Assim, imediatamente perto da parede forma-se uma camada onde a velocidade cresce do valor 0 (na parede) até aproximadamente V (longe da parede) — é a camada limite (boundary layer). Nesse caso o perfil não é uniforme, tem gradiente du/dy\neq 0 próximo à parede.
  • No modelo ideal esse gradiente não existe porque as tensões viscosas são zero; portanto não existe “camada limite” no sentido de variação suave da velocidade: a transição de u na parede para o valor livre é instantânea porque não há necessidade de ajustar a velocidade tangencial.

Passo 9

Limitações e observações finais (importante para prova e para saber quando usar essa solução)
  • O resultado é uma idealização: o modelo de fluido ideal é útil para problemas onde os efeitos viscosos são desprezíveis (por exemplo longe de superfícies ou para estimativas de grande escala). Próximo a superfícies físicas os efeitos viscosos dominam e a solução real terá boundary layer.
  • A solução uniforme é a solução trivial e admissível das equações de Euler para fluxos paralelos sobre uma placa plana alinhada com o escoamento. Não contradiz a condição de impermeabilidade e não requer tensão de cisalhamento.

Resposta

u(y)=V,\quad v(y)=0

Exercícios relacionados