(3,0) Uma tubulação de PVC, com rugosidade absoluta 0,06 \mathrm{~mm}, comprimento 1100 m e 100 mm de diâmetro interliga os reservatórios R1 e R2. Os niveis de água dos reservatórios R1 e R2 estão nas cotas 620,0 m e 600,0 m , respectivamente. Considerando a viscosidade cinemática da água de 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e despreziveis as perdas de
OBS.: Resolver o problema através da fórmula universal para perda de carga (Equaçăo de Darcy-Weisbach). carga localizada, calcular a vazão escoada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (peguei todos do enunciado):
    • Rugosidade absoluta: \varepsilon = 0{,}06\\ \mathrm{mm} = 6{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento da tubulação: L = 1100\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro interno: D = 100\\ \mathrm{mm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
    • Cota do reservatório R1: z_1 = 620{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Cota do reservatório R2: z_2 = 600{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Viscosidade cinemática da água: \nu = 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
    • Perdas localizadas desprezíveis (apenas perda distribuída na tubulação).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a vazão volumétrica Q escoada.

Passo 2

Entendendo a equação que vamos usar (Darcy–Weisbach) e a equação de energia simplificada.
  • A perda de carga distribuída pela tubulação segundo Darcy–Weisbach é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga (em metros de coluna d’água),
  • f é o fator de atrito (adimensional),
  • L é o comprimento da tubulação (m),
  • D é o diâmetro (m),
  • V é a velocidade média do fluido na seção (m/s),
  • g é a gravidade ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • Como as perdas localizadas são desprezíveis e os reservatórios são grandes (velocidade nos reservatórios desprezível), a diferença de nível entre R1 e R2 fornece a cabeça disponível para vencer h_f. Assim:
\Delta z = z_1 - z_2 = h_f.
No nosso caso \Delta z = 620{,}0-600{,}0 = 20{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Relação entre vazão Q, velocidade V e área da seção:
  • Área da seção circular:
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
  • Relação entre Q e V:
Q = A\,V.
Portanto podemos escrever V em termos de Q (ou vice-versa). Neste problema será mais direto obter primeiro V da equação de energia e então Q.

Passo 4

O fator de atrito f: dependência de rugosidade e número de Reynolds.
  • O fator f depende de \varepsilon/D (rugosidade relativa) e do número de Reynolds \mathrm{Re}, onde
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}.
  • A Equação de Colebrook relaciona f implicitamente com \mathrm{Re} e \varepsilon/D. Para evitar iteração complicada com a forma implícita, uso a expressão explícita de Swamee–Jain (aproximação da Colebrook, amplamente aceita e bem precisa para condutos turbulentos):
f = 0{,}25\bigg[\log_{10}\!\Big(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{\,0{,}9}}\Big)\bigg]^{-2}.
Vou usar essa fórmula e iterar (porque \mathrm{Re} depende de V que depende de f), mas a iteração converge rápido.

Passo 5

Preparar valores numéricos iniciais e equação para iteração.
  • Calcular a área:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}10)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}0025\approx 0{,}00785398\\ \mathrm{m^{2}}.
  • A equação que liga V e f (substituindo h_f=\Delta z) é
\Delta z = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g} \quad\Longrightarrow\quad V = \sqrt{\frac{2g\,\Delta z\,D}{f\,L}}.
  • Procedimento: escolher um palpite inicial para f, calcular V, então \mathrm{Re}, depois f pela fórmula de Swamee–Jain, e repetir até convergência.
Vou fazer as iterações com boa precisão numérica, mostrando cada passo.

Passo 6

Iteração 0 (palpite inicial):
  • Palpite inicial: f^{(0)}=0{,}020.
  • Calcular V^{(0)}:
V^{(0)}=\sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot20{,}0\cdot0{,}10}{0{,}020\cdot1100}} =\sqrt{\frac{39{,}24}{22}}=\sqrt{1{,}783636\ldots}=1{,}335\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular vazão:
Q^{(0)}=A\,V^{(0)}\approx 0{,}00785398\cdot1{,}335\approx0{,}01049\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Calcular Reynolds:
\mathrm{Re}^{(0)}=\frac{V^{(0)}D}{\nu}=\frac{1{,}335\cdot0{,}10}{1{,}0\times10^{-6}}=133500.

Passo 7

Usar Swamee–Jain para atualizar f (primeira atualização):
  • Calcular termos na fórmula:
    • \dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}=\dfrac{6{,}0\times10^{-5}}{3{,}7\cdot0{,}10}=\dfrac{6{,}0\times10^{-5}}{0{,}37}\approx 1{,}6216\times10^{-4}.
    • \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\dfrac{5{,}74}{(133500)^{0{,}9}}. Calcule (133500)^{0{,}9}\approx 4{,}110\times10^{4} (usando logaritmos), então esse termo \approx 1{,}396\times10^{-4}.
    • Soma: 1{,}6216\times10^{-4}+1{,}396\times10^{-4}=3{,}0176\times10^{-4}.
  • Agora
f^{(1)}=0{,}25\Big[\log_{10}(3{,}0176\times10^{-4})\Big]^{-2}.
Calcule \log_{10}(3{,}0176\times10^{-4})\approx -3{,}5203. Então
f^{(1)}=0{,}25/(-3{,}5203)^{2}=0{,}25/12{,}3926\approx0{,}02017.

Passo 8

Segunda iteração (usar f^{(1)} para atualizar V, Q, \mathrm{Re} e f novamente):
  • Velocidade nova:
V^{(1)}=\sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot20{,}0\cdot0{,}10}{0{,}02017\cdot1100}} =\sqrt{\frac{39{,}24}{22{,}1867}}=\sqrt{1{,}7686\ldots}=1{,}330\\ \mathrm{m/s}.
  • Vazão nova:
Q^{(1)}=A\,V^{(1)}\approx0{,}00785398\cdot1{,}330\approx0{,}01044\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Reynolds novo:
\mathrm{Re}^{(1)}=\frac{1{,}330\cdot0{,}10}{1{,}0\times10^{-6}}=133000.
  • Atualizar f via Swamee–Jain com \mathrm{Re}^{(1)}:
    • \dfrac{5{,}74}{(133000)^{0{,}9}}\approx1{,}40\times10^{-4}.
    • Soma com \varepsilon/(3{,}7D): \approx3{,}0216\times10^{-4}.
    • \log_{10}(\cdot)\approx -3{,}5195, portanto
f^{(2)}\approx 0{,}25/(-3{,}5195)^{2}\approx0{,}02016.

Passo 9

Convergência e valores finais.
  • Diferença entre f^{(1)} e f^{(2)} é muito pequena ( \sim10^{-5}), portanto já convergiu.
  • Tomando os valores convergidos:
    • f\approx 0{,}02016,
    • V\approx 1{,}330\\ \mathrm{m/s},
    • Q = A V \approx 0{,}01044\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Em unidades práticas: 0{,}01044\\ \mathrm{m^{3}/s}=10{,}44\\ \mathrm{L/s}.

Resposta

Q = 0,01044\\ \mathrm{m^{3}/s}

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