Uma tubulação de PVC, com rugosidade absoluta
, comprimento 1100 m e 100 mm de diâmetro interliga os reservatórios R1 e R2. Os niveis de água dos reservatórios R1 e R2 estão nas cotas 620,0 m e 600,0 m , respectivamente. Considerando a viscosidade cinemática da água de
e despreziveis as perdas de
OBS.: Resolver o problema através da fórmula universal para perda de carga (Equaçăo de Darcy-Weisbach). carga localizada, calcular a vazão escoada.
OBS.: Resolver o problema através da fórmula universal para perda de carga (Equaçăo de Darcy-Weisbach). carga localizada, calcular a vazão escoada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados (peguei todos do enunciado):
- Rugosidade absoluta:
. - Comprimento da tubulação:
. - Diâmetro interno:
. - Cota do reservatório R1:
. - Cota do reservatório R2:
. - Viscosidade cinemática da água:
. - Perdas localizadas desprezíveis (apenas perda distribuída na tubulação).
- Rugosidade absoluta:
- O que o enunciado pede:
- Calcular a vazão volumétrica
escoada.
- Calcular a vazão volumétrica
Passo 2
Entendendo a equação que vamos usar (Darcy–Weisbach) e a equação de energia simplificada.
- A perda de carga distribuída pela tubulação segundo Darcy–Weisbach é
onde:
-
é a perda de carga (em metros de coluna d’água), -
é o fator de atrito (adimensional), -
é o comprimento da tubulação (m), -
é o diâmetro (m), -
é a velocidade média do fluido na seção (m/s), -
é a gravidade ( ). -
Como as perdas localizadas são desprezíveis e os reservatórios são grandes (velocidade nos reservatórios desprezível), a diferença de nível entre R1 e R2 fornece a cabeça disponível para vencer
. Assim:
No nosso caso
.
Passo 3
Relação entre vazão
, velocidade
e área da seção:
- Área da seção circular:
- Relação entre
e :
Portanto podemos escrever
em termos de
(ou vice-versa). Neste problema será mais direto obter primeiro
da equação de energia e então
.
Passo 4
O fator de atrito
: dependência de rugosidade e número de Reynolds.
- O fator
depende de (rugosidade relativa) e do número de Reynolds , onde
- A Equação de Colebrook relaciona
implicitamente com e . Para evitar iteração complicada com a forma implícita, uso a expressão explícita de Swamee–Jain (aproximação da Colebrook, amplamente aceita e bem precisa para condutos turbulentos):
Vou usar essa fórmula e iterar (porque
depende de
que depende de
), mas a iteração converge rápido.
Passo 5
Preparar valores numéricos iniciais e equação para iteração.
- Calcular a área:
- A equação que liga
e (substituindo ) é
- Procedimento: escolher um palpite inicial para
, calcular , então , depois pela fórmula de Swamee–Jain, e repetir até convergência.
Vou fazer as iterações com boa precisão numérica, mostrando cada passo.
Passo 6
Iteração 0 (palpite inicial):
- Palpite inicial:
. - Calcular
:
- Calcular vazão:
- Calcular Reynolds:
Passo 7
Usar Swamee–Jain para atualizar
(primeira atualização):
- Calcular termos na fórmula:
-
-
Calcule (usando logaritmos), então esse termo - Soma:
-
- Agora
Calcule
. Então
Passo 8
Segunda iteração (usar
para atualizar
,
,
e
novamente):
- Velocidade nova:
- Vazão nova:
- Reynolds novo:
- Atualizar
via Swamee–Jain com : -
. - Soma com
: . -
, portanto
-
Passo 9
Convergência e valores finais.
- Diferença entre
e é muito pequena ( ), portanto já convergiu. - Tomando os valores convergidos:
-
, -
, -
.
-
- Em unidades práticas:
.