Uma usina termelétrica opera em um ciclo de Rankine simples com água como fluido de trabalho. Sabendo-se que, a pressão na caldeira ( \mathrm{P}_{1} ) é de 3 MPa ; a temperatura na entrada da turbina ( \mathrm{T}_{1} ) é de 300^{\circ} \mathrm{C}; a pressão no condensador ( \mathrm{P}_{2} ) é de 50 kPa e a vazão mássica do vapor é de 5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e considerando-se que a turbina e bomba são isentrópicas (sem perdas) e que energia cinética e potencial são desprezíveis. Calcule a eficiência térmica de um ciclo de Rankine ideal.
Passos para Resolução
  1. Identificar os estados termodinâmicos
  2. Calcular trabalhos e calores
  3. Determinar a eficiência térmica

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • P_{1}=3{,}0\\ \mathrm{MPa} (pressão da caldeira / entrada da turbina).
    • T_{1}=300^{\circ}\mathrm{C} (temperatura na entrada da turbina).
    • P_{2}=50\\ \mathrm{kPa}=0{,}05\\ \mathrm{MPa} (pressão do condensador / saída da turbina).
    • Vazão mássica \dot{m}=5{,}0\\ \mathrm{kg/s}.
    • Turbina e bomba são isentrópicas (processos reversíveis e adiabáticos).
    • Energia cinética e potencial desprezíveis.
  • O enunciado pede:
    • Calcular a eficiência térmica do ciclo de Rankine ideal.
  • Observações importantes (extraídas do enunciado): ciclo de Rankine simples com água, expansão isentrópica na turbina e compressão isentrópica (bomba ideal); portanto usaremos propriedades de vapor (tabelas de vapor) nos estados característicos do ciclo: estado 1 (saída da caldeira / entrada da turbina), estado 2 (saída da turbina / entrada do condensador), estado 3 (saturado líquido no condensador), estado 4 (líquido comprimido após a bomba, antes da caldeira).

Passo 2

Breve “aula” do que vamos usar — fórmulas e conceitos do Rankine ideal.
  • Etapas do ciclo e fórmulas por unidade de massa:
    • Turbina (isentrópica): expansão de 1 para 2 _s com s_2=s_1. Trabalho por unidade de massa da turbina: w_{t} = h_1 - h_{2s}.
    • Condensador (a pressão é P_2): saída da turbina chega como vapor úmido; no ponto 3 temos vapor completamente condensado (saturado líquido) com entalpia h_3=h_f(P_2).
    • Bomba (compressão isentrópica de 3 para 4): para líquido comprimido o trabalho específico da bomba pode ser aproximado por w_{b} \approx v_f(P_2)\,\bigl(P_1-P_2\bigr),onde v_f(P_2) é o volume específico do líquido saturado na pressão do condensador; as unidades ficam kPa·m^3/kg = kJ/kg se usarmos P em kPa e v em m^3/kg.
      A entalpia após bomba: h_4 = h_3 + w_b.
    • Caldeira (adição de calor): calor adicionado por unidade de massa q_{in} = h_1 - h_4.
    • Eficiência térmica do ciclo de Rankine ideal: \eta_{th} = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{w_t - w_b}{q_{in}}.
  • Como obter h e s: usar tabelas de vapor (steam tables). Em ciclo isentrópico na turbina usamos s_2=s_1 e, na pressão de saída P_2, determinamos a qualidade x_2 por:
    x_2 = \frac{s_1 - s_f(P_2)}{s_g(P_2) - s_f(P_2)}.
    Depois:
    h_{2s} = h_f(P_2) + x_2 \, h_{fg}(P_2),
    onde h_{fg}=h_g-h_f.

Passo 3

Pegar os valores nas tabelas de vapor (aqui listo os valores usados, retirados de tabelas de vapor para as condições dadas).
  • Estado 1: vapor superaquecido a P_1=3{,}0\\ \mathrm{MPa} e T_1=300^{\circ}\mathrm{C}.
    • Dos steam tables (valores adotados): h_1 = 3050{,}1\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_1 = 6{,}520\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    (Esses números são os valores de entalpia e entropia do vapor superaquecido para as condições dadas.)
  • Estado 2: saída da turbina (expansão isentrópica até P_2=0{,}05\\ \mathrm{MPa}). Para P_2=0{,}05\\ \mathrm{MPa} (saturado):
    • Dos steam tables na pressão de 0{,}05\\ \mathrm{MPa}: h_f = 340{,}54\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_f = 1{,}091\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
h_{fg} = 2392{,}80\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_g = 8{,}150\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Observação: h_g = h_f + h_{fg} e s_{fg} = s_g - s_f.
  • Estado 3: líquido saturado no condensador:
    h_3 = h_f(P_2) = 340{,}54\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Volume específico do líquido saturado em P_2 (para cálculo do trabalho da bomba):
    • Valor adotado: v_f(P_2) = 0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg} (valor típico para água líquida perto dessa pressão).
(Obs.: estes valores foram explicitamente retirados de tabelas de vapor; se em prova o enunciado trouxesse tabelas, usar exatamente os números delas.)

Passo 4

Calcular a saída isentrópica da turbina: entropia constante e qualidade no ponto 2.
  • Entropia constante:
    s_{2s} = s_1 = 6{,}520\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Calcular a qualidade x_{2s} na pressão P_2:
    s_{fg}(P_2)=s_g-s_f = 8{,}150 - 1{,}091 = 7{,}059\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
x_{2s} = \frac{s_{2s}-s_f}{s_{fg}} = \frac{6{,}520 - 1{,}091}{7{,}059} = \frac{5{,}429}{7{,}059}\approx 0{,}769.
  • Agora a entalpia na saída isentrópica h_{2s}: h_{2s} = h_f + x_{2s}\,h_{fg} = 340{,}54 + 0{,}769\cdot 2392{,}80.Calculemos: 0{,}769\cdot 2392{,}80 \approx 1840{,}30\\ \mathrm{kJ/kg},
h_{2s} \approx 340{,}54 + 1840{,}30 = 2180{,}84\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

Calcular os trabalhos e calor específico (por kg) necessários.
  • Trabalho específico da turbina (isentrópico):
    w_t = h_1 - h_{2s} = 3050{,}1 - 2180{,}84 = 869{,}26\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho específico da bomba (aproximação comprimindo líquido):
    \Delta P = P_1 - P_2 = 3000\\ \mathrm{kPa} - 50\\ \mathrm{kPa} = 2950\\ \mathrm{kPa}.
w_b \approx v_f\,\Delta P = 0{,}001012\cdot 2950 \approx 2{,}985\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Unidade: kPa·m^3/kg = kJ/kg.)
  • Entalpia após bomba (estado 4):
    h_4 = h_3 + w_b = 340{,}54 + 2{,}985 = 343{,}525\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calor adicionado na caldeira por unidade de massa:
    q_{in} = h_1 - h_4 = 3050{,}1 - 343{,}525 = 2706{,}575\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho líquido por unidade de massa:
    w_{net} = w_t - w_b = 869{,}26 - 2{,}985 = 866{,}275\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Calcular a eficiência térmica do ciclo e comentar resultado.
  • Eficiência térmica:
    \eta_{th} = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{866{,}275}{2706{,}575} \approx 0{,}320 \;(\text{adimensional}).
    Em porcentagem:
    \eta_{th}\approx 32{,}0\%.
  • Comentário curto e motivador: a eficiência caiu para cerca de 32\% porque, mesmo com pressão de caldeira relativamente alta ( 3\\ \mathrm{MPa}) e superaquecimento a 300^\circ\mathrm{C}, grande parte do calor entra apenas para vaporizar e aquecer o fluido; a expansão para uma pressão relativamente alta do condensador (50 kPa) deixa o vapor de saída com qualidade menor que 1, limitando o trabalho extraível. Em provas, esse procedimento (buscar h_1,s_1 nas tabelas, usar s_2=s_1 para achar x_2 e h_{2s}, calcular w_b por v\Delta P, e depois \eta) é o padrão.

Resposta

\eta_{th}\approx 0{,}320\approx 32{,}0\%

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