Especifique as características \left(\mu_{R}, \epsilon_{R}, \sigma\right) de um material para o qual uma onda plana uniforme na freqüência de 100 MHz tem um comprimento de onda 1 m , uma atenuação de 2 \mathrm{~Np} / \mathrm{m} e uma impedâneia intrínseca de 200 \Omega.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (copiando tudo explicitamente):
\;f=100\\ \mathrm{MHz} (frequência), \;\lambda=1\\ \mathrm{m} (comprimento de onda no material), \;\alpha=2\\ \mathrm{Np/m} (atenuação) e \;\eta_{\text{intr}}=200\\ \Omega (impedância intrínseca — tomarei aqui o valor dado como o módulo |\eta|=200\\ \Omega).
O que se pede: determinar as características do material \left(\mu_{R},\\ \epsilon_{R},\\ \sigma\right), onde \mu_{R} é a permeabilidade relativa (adimensional), \epsilon_{R} é a permissividade relativa (adimensional) e \sigma é a condutividade (em \mathrm{S/m}).

Passo 2

Vamos anotar constantes e quantidades básicas que usaremos:
\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m},\qquad \epsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Frequência angular:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 100\times10^{6}=2\pi\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
Número de fase \beta obtido a partir do comprimento de onda \lambda:
\beta=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{1}=2\pi\\ \mathrm{rad/m}.
E já temos \alpha=2\\ \mathrm{Np/m}.

Passo 3

Apresento as fórmulas fundamentais para uma onda plana em um meio linear, isotrópico e homogêneo:
  • constante de propagação
\gamma=\alpha+j\beta,
que também satisfaz
\gamma=\sqrt{(j\omega\mu)(\sigma+j\omega\epsilon)}.
  • impedância intrínseca
\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\epsilon}}.
Aqui \mu=\mu_{0}\mu_{R} e \epsilon=\epsilon_{0}\epsilon_{R}. Explico: \gamma relaciona decaimento (parte real \alpha) e fase (parte imag \beta); \eta relaciona campos elétricos e magnéticos locais. As incógnitas são \mu_{R}, \epsilon_{R} e \sigma.

Passo 4

Vamos manipular \gamma^{2}. Escrevendo \gamma=\alpha+j\beta temos
\gamma^{2}=(\alpha+j\beta)^{2}=\alpha^{2}-\beta^{2}+j(2\alpha\beta).
Por outro lado, pela definição,
\gamma^{2}=(j\omega\mu)(\sigma+j\omega\epsilon)= -\omega^{2}\mu\epsilon + j(\omega\mu\sigma).
Igualando partes real e imaginária obtemos duas equações reais úteis:
\alpha^{2}-\beta^{2}=-\omega^{2}\mu\epsilon
e
2\alpha\beta=\omega\mu\sigma.

Passo 5

Das equações do Passo 4 isolamos \sigma e \epsilon em função de \mu:
\sigma=\frac{2\alpha\beta}{\omega\mu}, \qquad \epsilon=\frac{\beta^{2}-\alpha^{2}}{\omega^{2}\mu}.
Observação didática: isso é muito prático — reduzimos duas incógnitas ( \sigma,\epsilon) para expressões que dependem apenas de \mu. Só falta uma equação para encontrar \mu (e aí tudo se determina).

Passo 6

Usamos a informação sobre a impedância intrínseca. Tomando o módulo da relação
\eta^{2}=\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\epsilon},
temos (tomando módulos)
|\eta|^{2}=\frac{\omega\mu}{\sqrt{\sigma^{2}+(\omega\epsilon)^{2}}}.
Agora substituímos \sigma e \omega\epsilon das expressões do Passo 5. Note que
\sigma=\frac{2\alpha\beta}{\omega\mu},\qquad \omega\epsilon=\frac{\beta^{2}-\alpha^{2}}{\omega\mu}\cdot\omega=\frac{\beta^{2}-\alpha^{2}}{\mu}.
Ao calcular \sigma^{2}+(\omega\epsilon)^{2} aparece a identidade algébrica
(2\alpha\beta)^{2}+(\beta^{2}-\alpha^{2})^{2}=(\beta^{2}+\alpha^{2})^{2}.
Daí
\sqrt{\sigma^{2}+(\omega\epsilon)^{2}}=\frac{\beta^{2}+\alpha^{2}}{\omega\mu}.
Substituindo na expressão para |\eta|^{2} obtemos
|\eta|^{2}=\frac{\omega\mu}{\dfrac{\beta^{2}+\alpha^{2}}{\omega\mu}} =\frac{\omega^{2}\mu^{2}}{\beta^{2}+\alpha^{2}}.
Isolando \mu^{2}:
\mu^{2}=\frac{(\beta^{2}+\alpha^{2})\,|\eta|^{2}}{\omega^{2}}.
Portanto \mu é obtida diretamente a partir dos valores conhecidos \alpha,\beta,\omega,|\eta|. Depois calculamos \mu_{R}=\mu/\mu_{0}.

Passo 7

Agora computamos numericamente passo a passo (vou mostrar números intermediários):
\beta=2\pi\approx 6{,}283185307\\ \mathrm{rad/m}, \qquad \alpha=2\\ \mathrm{Np/m}.
\beta^{2}+\alpha^{2}= (2\pi)^{2}+2^{2}=39{,}47841760+4=43{,}47841760.
|\eta|=200\\ \Omega\quad\Rightarrow\quad |\eta|^{2}=40000.
\omega=2\pi\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s},\qquad \omega^{2}\approx 3{,}947841760\times10^{17}\\ \mathrm{(rad/s)^{2}}.

Passo 8

Calcule \mu e \mu_{R}:
\mu^{2}=\frac{(\beta^{2}+\alpha^{2})\,|\eta|^{2}}{\omega^{2}} =\frac{43{,}47841760\times40000}{3{,}947841760\times10^{17}} \approx 4{,}405620\times10^{-12}\\ \mathrm{(H/m)^{2}}.
\mu\approx\sqrt{4{,}405620\times10^{-12}}=2{,}099905\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
\mu_{R}=\frac{\mu}{\mu_{0}}=\frac{2{,}099905\times10^{-6}}{4\pi\times10^{-7}} =\frac{2{,}099905\times10^{-6}}{1{,}256637061\times10^{-6}} \approx 1{,}6710.

Passo 9

Com \mu calculada, agora \sigma:
\sigma=\frac{2\alpha\beta}{\omega\mu}.
Numéricamente:
2\alpha\beta=2\cdot2\cdot2\pi=25{,}13274123,
\omega\mu=(2\pi\times10^{8})\cdot(2{,}099905\times10^{-6})\approx 1319{,}4679,
\sigma\approx\frac{25{,}13274123}{1319{,}4679}\approx 0{,}01904\\ \mathrm{S/m}.

Passo 10

Agora \epsilon e \epsilon_{R}:
\epsilon=\frac{\beta^{2}-\alpha^{2}}{\omega^{2}\mu}.
Numericamente:
\beta^{2}-\alpha^{2}=39{,}47841760-4=35{,}47841760,
\omega^{2}\mu=(\omega^{2})\mu\approx (3{,}947841760\times10^{17})\cdot(2{,}099905\times10^{-6}) \approx 8{,}289\times10^{11},
\epsilon\approx\frac{35{,}47841760}{8{,}289\times10^{11}}\approx 4{,}279\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
\epsilon_{R}=\frac{\epsilon}{\epsilon_{0}}=\frac{4{,}279\times10^{-11}}{8{,}854187817\times10^{-12}}\approx 4{,}83.

Passo 11

Resumo dos valores com unidades e arredondamento razoável para uso em prova:
\mu_{R}\approx 1{,}671,\\ \epsilon_{R}\approx 4{,}83,\\ \sigma\approx 0{,}01904\\ \mathrm{S/m}.
Eu também fiz as contas mostrando a origem de cada fórmula para que você consiga reproduzir isso na prova passo a passo.

Resposta

\mu_{R}\approx 1{,}671
\epsilon_{R}\approx 4{,}83
\sigma\approx 0{,}01904\\ \mathrm{S/m}

Exercícios relacionados