1 - Quando uma partícula de carga q=-1 C se move em um campo magnético com velocidade \vec{v}=(\hat{i}+\hat{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s} a força magnética sobre ela é \vec{F}=(\hat{i}-\hat{j}+\hat{3 k}) N. Se o módulo do campo magnético for B=\sqrt{6} T qual (ou quais) é o vetor campo magnético ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o(s) vetor(es) campo magnético \vec B:
  • carga da partícula: \,q=-1\\ \mathrm{C}\,;
  • velocidade: \displaystyle \vec v = \hat{i}+\hat{j}\\ \mathrm{m/s};
  • força magnética medida: \displaystyle \vec F = \hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\\ \mathrm{N};
  • módulo do campo magnético: \displaystyle B= \sqrt{6}\\ \mathrm{T}.
Pergunta: qual(is) vetor(es) \vec B satisfaz(em) \vec F = q\,\vec v\times\vec B e |\vec B|=\sqrt{6}?

Passo 2

A fórmula da força magnética (parte magnética da força de Lorentz) é
\vec F = q\,\vec v\times\vec B.
Expliquei essa fórmula assim: \vec v\times\vec B é o produto vetorial entre velocidade e campo magnético; ele dá um vetor perpendicular a ambos. O fator q apenas escala e pode inverter o sentido se q for negativo. Como aqui q=-1, obtemos
\vec F = -\,\vec v\times\vec B
ou seja
\vec v\times\vec B = -\vec F.
Vou usar isso para achar as componentes de \vec B.

Passo 3

Escrevo \vec v e um vetor genérico \vec B em componentes:
\vec v = (1,1,0),\qquad \vec B = (B_x,B_y,B_z).
Calculamos o produto vetorial por definição (determinante ou fórmula de componentes). O produto vetorial \vec v\times\vec B tem componentes
\vec v\times\vec B = \bigl(B_z,\\\ -B_z,\\ B_y-B_x\bigr).
Aqui cada componente vem de expandir a determinante:
  • componente x: 1\cdot B_z - 0\cdot B_y = B_z;
  • componente y: -(1\cdot B_z - 0\cdot B_x) = -B_z;
  • componente z: 1\cdot B_y - 1\cdot B_x = B_y-B_x.

Passo 4

Usando \vec v\times\vec B = -\vec F e \vec F=(1,-1,3), temos -\vec F = (-1,1,-3). Igualando componentes:
(B_z,\\\ -B_z,\\ B_y-B_x) = (-1,\\\ 1,\\\ -3).
Isso gera o sistema
B_z = -1, \qquad -B_z = 1 \quad(\text{consistente com a primeira}), \qquad B_y - B_x = -3.

Passo 5

Agora aplico a condicionante do módulo |\vec B|=\sqrt{6}. Escrevo
B_x^2 + B_y^2 + B_z^2 = 6.
Substituo B_z=-1, ficando
B_x^2 + B_y^2 + 1 = 6 \quad\Rightarrow\quad B_x^2 + B_y^2 = 5.
Também já tenho B_y = B_x - 3 (rearranjando B_y - B_x = -3). Substituo B_y na equação do módulo:
B_x^2 + (B_x-3)^2 = 5.

Passo 6

Desenvolvo e resolvo a equação em B_x:
B_x^2 + (B_x-3)^2 = 5
B_x^2 + B_x^2 -6B_x +9 = 5
2B_x^2 -6B_x +4 = 0
B_x^2 -3B_x +2 = 0.
Fatorando:
(B_x-1)(B_x-2)=0,
logo as soluções são B_x=1 ou B_x=2.

Passo 7

Para cada B_x encontro B_y e já tenho B_z=-1:
  • Se B_x=1, então B_y=B_x-3=1-3=-2 e B_z=-1. Assim \vec B=(1,-2,-1).
  • Se B_x=2, então B_y=2-3=-1 e B_z=-1. Assim \vec B=(2,-1,-1).
Verificação rápida (mostrar que as soluções satisfazem tanto o produto vetorial quanto o módulo):
  • para \vec B=(1,-2,-1): \vec v\times\vec B = (-1,1,-3)= -\vec F e |\vec B|^2=1+4+1=6;
  • para \vec B=(2,-1,-1): \vec v\times\vec B = (-1,1,-3)= -\vec F e |\vec B|^2=4+1+1=6.

Resposta

\vec B = \hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}
\vec B = 2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}

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