A imagem de uma árvore cobre exatamente o tamanho de um espelho plano de 5 cm, quando o mantemos vertical a 30 cm dos olhos. A árvore está a 90m do espelho. Qual é a sua altura?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o problema está dizendo e o que precisamos para resolvê-lo. A gente tem uma árvore que, quando colocada a 90 metros de um espelho plano, faz com que a imagem dela cubra exatamente um espelho de 5 centímetros quando colocamos nossos olhos a 30 centímetros desse espelho. O que queremos descobrir é a altura real dessa árvore.
Matéria envolvida: Óptica Geométrica, especificamente a formação de imagens em espelhos planos e a proporção entre tamanho de objetos e suas imagens.
O que vamos precisar: Entender como as proporções funcionam na formação de imagens e aplicar uma regra de três simples para relacionar as medidas dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a imagem da árvore está sendo formada no espelho. Em um espelho plano, a imagem de um objeto está à mesma distância atrás do espelho que o objeto está à frente. Então, se a árvore está a 90 metros do espelho, a imagem dela também parece estar a 90 metros atrás do espelho.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que significa a imagem da árvore cobrir um espelho de 5 centímetros quando mantemos nossos olhos a 30 centímetros do espelho. Isso quer dizer que a angulação (ou o ângulo que a árvore e a imagem ocupam em nossos olhos) é a mesma.
Passo 4
Para relacionar o tamanho real da árvore com o tamanho da imagem no espelho, podemos usar uma proporção. A fórmula básica fica assim:
Onde:
- $ h $ é a altura real da árvore que queremos encontrar.
- $ D $ é a distância da árvore ao espelho (90 metros).
- $ t $ é a altura da imagem no espelho (5 centímetros).
- $ d $ é a distância dos olhos ao espelho (30 centímetros).
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Simplificando a fração do lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 6
Para encontrar $ h $, multiplicamos ambos os lados da equação por 90 metros:
Resposta
A altura da árvore é de 15 metros.