Imagine uma economia com um agente, Caio, que tem a seguinte função utilidade: U\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{\alpha} x_{2}^{\beta}. Sua renda é de W e os preços são P_{1} e P_{2}. Resolva o problema desse consumidor e encontre a demanda ótima pelos bens x_{1} e x_{2}, ou seja, resolva:
\begin{array}{ll} \max & x_{1}^{\alpha} x_{2}^{\beta} \\\ \text { s.a. } & P_{1} x_{1}+P_{2} x_{2}=W \end{array}

Passo 1

O enunciado pede encontrar as escolhas ótimas \,x_{1}^{*} e \,x_{2}^{*} de um consumidor com utilidade Cobb–Douglas
U(x_{1},x_{2}) = x_{1}^{\alpha}\,x_{2}^{\beta}
sujeito à restrição orçamentária
P_{1}\,x_{1} + P_{2}\,x_{2} = W.
O método a usar é o de Lagrange, pois temos uma maximização com uma restrição em igualdade.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda) = x_{1}^{\alpha}\,x_{2}^{\beta} \;+\;\lambda\bigl(W - P_{1}\,x_{1} - P_{2}\,x_{2}\bigr),
onde \lambda é o multiplicador associado à restrição orçamentária.

Passo 3

Escrevemos as condições de primeira ordem (FOC):
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}} = \alpha\,x_{1}^{\alpha-1}x_{2}^{\beta} \;-\;\lambda\,P_{1} = 0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}} = \beta\,x_{1}^{\alpha}x_{2}^{\beta-1} \;-\;\lambda\,P_{2} = 0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = W - P_{1}\,x_{1} - P_{2}\,x_{2} = 0.

Passo 4

Dividindo a primeira equação pela segunda, eliminamos \lambda:
\frac{\alpha\,x_{1}^{\alpha-1}x_{2}^{\beta}}{\beta\,x_{1}^{\alpha}x_{2}^{\beta-1}} = \frac{P_{1}}{P_{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\alpha}{\beta}\,\frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{P_{1}}{P_{2}} \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = \frac{\beta}{\alpha}\,\frac{P_{1}}{P_{2}}\,x_{1}.

Passo 5

Substituímos essa expressão na restrição orçamentária:
P_{1}\,x_{1} + P_{2}\,\Bigl(\frac{\beta}{\alpha}\,\frac{P_{1}}{P_{2}}\,x_{1}\Bigr) = W \quad\Longrightarrow\quad P_{1}\,x_{1}\Bigl(1 + \frac{\beta}{\alpha}\Bigr) = W \quad\Longrightarrow\quad P_{1}\,x_{1}\,\frac{\alpha + \beta}{\alpha} = W.
Dessa forma
x_{1}^{*} = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}\,\frac{W}{P_{1}}.

Passo 6

Para x_{2}^{*}, basta usar a relação de proporção ou simetricamente obter
x_{2}^{*} = \frac{\beta}{\alpha + \beta}\,\frac{W}{P_{2}}.

Resposta

x_{1}^{*} = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}\,\frac{W}{P_{1}}, \qquad x_{2}^{*} = \frac{\beta}{\alpha + \beta}\,\frac{W}{P_{2}}.

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