Imagine uma economia com um agente, Caio, que tem a seguinte função utilidade:
. Sua renda é de
e os preços são
e
. Resolva o problema desse consumidor e encontre a demanda ótima pelos bens
e
, ou seja, resolva:
Passo 1
O enunciado pede encontrar as escolhas ótimas
e
de um consumidor com utilidade Cobb–Douglas
sujeito à restrição orçamentária
O método a usar é o de Lagrange, pois temos uma maximização com uma restrição em igualdade.
Passo 2
Definimos a função de Lagrange
onde
é o multiplicador associado à restrição orçamentária.
Passo 3
Escrevemos as condições de primeira ordem (FOC):
Passo 4
Dividindo a primeira equação pela segunda, eliminamos
:
Passo 5
Substituímos essa expressão na restrição orçamentária:
Dessa forma
Passo 6
Para
, basta usar a relação de proporção ou simetricamente obter