Imagine, agora, outro consumidor dessa economia, Prancacio, com a mesma função utilidade U\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{\alpha} x_{2}^{\beta}. Prancacio enfrenta os mesmo preços P_{1} e P_{2}, mas tem uma renda R maior que o Caio ( R>W ). Você é um formulador de políticas públicas e tem uma valor monetário A para doar para Caio OU Prancacio. Imaginando que você quer doar esse valor para o consumidor que terá um aumento maior de utilidade, quem deve receber A ? Justifique matematicamente sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos diz que Caio e Prancacio têm a mesma utilidade cobb–douglas
U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha}x_{2}^{\beta}
com parâmetros \alpha,\beta>0. Caio tem renda W e Prancacio tem renda R, com R>W. Você pode doar um valor monetário A para um deles e quer escolher quem recebe o presente de modo a maximizar o aumento de utilidade. Vamos obter a função de utilidade indireta e comparar os incrementos.

Passo 2

Para qualquer consumidor de renda m, os bens ótimos resolvem
\max_{x_{1},x_{2}}\,x_{1}^{\alpha}x_{2}^{\beta} \quad\text{s.a.}\quad P_{1}x_{1}+P_{2}x_{2}=m.
Pela propriedade da cobb–douglas, as demandas são
x_{1}^{*}=\frac{\alpha\,m}{P_{1}}, \qquad x_{2}^{*}=\frac{\beta\,m}{P_{2}}.
Substituindo em U vem a utilidade indireta
V(m) =\biggl(\frac{\alpha\,m}{P_{1}}\biggr)^{\!\alpha} \;\biggl(\frac{\beta\,m}{P_{2}}\biggr)^{\!\beta} =\frac{\alpha^{\alpha}\,\beta^{\beta}}{P_{1}^{\alpha}P_{2}^{\beta}}\;m^{\,\alpha+\beta}.
Chamemos
K=\frac{\alpha^{\alpha}\,\beta^{\beta}}{P_{1}^{\alpha}P_{2}^{\beta}},
logo
V(m)=K\,m^{\,\alpha+\beta}.

Passo 3

Se você doa A a um consumidor com renda m, sua utilidade vai de V(m) para
V(m+A)=K\,(m+A)^{\alpha+\beta}.
O ganho de utilidade é
\Delta V(m) =V(m+A)-V(m) =K\bigl[(m+A)^{\alpha+\beta}-m^{\alpha+\beta}\bigr].

Passo 4

Precisamos comparar
\Delta V(W) \quad\text{e}\quad \Delta V(R).
Defina a função
f(m)=(m+A)^{d}-m^{d}, \quad d=\alpha+\beta.
Então \Delta V(m)=K\,f(m), e
f'(m) =d\bigl[(m+A)^{d-1}-m^{d-1}\bigr].
Se d<1, então d-1<0 e (m+A)^{d-1}<m^{d-1}, logo f'(m)<0 e f é decrescente em m. Assim
f(W)>f(R) \;\Longrightarrow\; \Delta V(W)>\Delta V(R),
isto é, doar ao mais pobre (Caio) rende maior aumento de utilidade.
Se d=1, então f(m)=A é constante e \Delta V(W)=\Delta V(R), ou seja, indiferente.
Se d>1, f'(m)>0 e f é crescente, então \Delta V(R)>\Delta V(W) e compensa doar ao mais rico (Prancacio).

Resposta

Se \alpha+\beta<1, doa para Caio; se \alpha+\beta>1, doa para Prancacio; se \alpha+\beta=1, dá no mesmo.

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