Imagine, agora, outro consumidor dessa economia, Prancacio, com a mesma função utilidade
. Prancacio enfrenta os mesmo preços
e
, mas tem uma renda
maior que o Caio (
). Você é um formulador de políticas públicas e tem uma valor monetário
para doar para Caio OU Prancacio. Imaginando que você quer doar esse valor para o consumidor que terá um aumento maior de utilidade, quem deve receber
? Justifique matematicamente sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos diz que Caio e Prancacio têm a mesma utilidade cobb–douglas
com parâmetros
. Caio tem renda
e Prancacio tem renda
, com
. Você pode doar um valor monetário
para um deles e quer escolher quem recebe o presente de modo a maximizar o aumento de utilidade. Vamos obter a função de utilidade indireta e comparar os incrementos.
Passo 2
Para qualquer consumidor de renda
, os bens ótimos resolvem
Pela propriedade da cobb–douglas, as demandas são
Substituindo em
vem a utilidade indireta
Chamemos
logo
Passo 3
Se você doa
a um consumidor com renda
, sua utilidade vai de
para
O ganho de utilidade é
Passo 4
Precisamos comparar
Defina a função
Então
, e
Se
, então
e
, logo
e
é decrescente em
. Assim
isto é, doar ao mais pobre (Caio) rende maior aumento de utilidade.
Se , então
é constante e
, ou seja, indiferente.
Se ,
e
é crescente, então
e compensa doar ao mais rico (Prancacio).
Se
Se
Resposta
Se
, doa para Caio; se
, doa para Prancacio; se
, dá no mesmo.