Suponha agora que W=36, P_{1}=1 e P_{2}=3. Admita, também, que \alpha=\frac{1}{4} e que \beta=\frac{3}{4}. Resolva o problema do Caio, mas sem admitir que a restrição é ativa, ou seja, resolva:
\begin{array}{ll} \max & x_{1}^{\frac{1}{4}} x_{2}^{\frac{3}{4}} \\\ \text { s.a. } & x_{1}+3 x_{2} \leq 36 \end{array}

Passo 1

O problema de Caio é
\begin{array}{ll} \max & x_{1}^{\frac{1}{4}}\,x_{2}^{\frac{3}{4}}\\[6pt] \text{s.a.}&x_{1}+3x_{2}\le36,\\\ &x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0. \end{array}
Aqui temos utilidade Cobb– Douglas e uma restrição orçamentária. Como não vamos supor a restrição ativa de antemão, vamos usar as condições de Karush– Kuhn– Tucker (KKT).]

Passo 2

Formulamos o Lagrangiano
\mathcal{L}=x_{1}^{\frac{1}{4}}x_{2}^{\frac{3}{4}} -\lambda\,(x_{1}+3x_{2}-36) -\mu_{1}x_{1}-\mu_{2}x_{2},
com multiplicadores \lambda,\mu_{1},\mu_{2}\ge0. As condições KKT são:
1) Estacionaridade
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}} =\tfrac{1}{4}\,x_{1}^{-\frac{3}{4}}x_{2}^{\frac{3}{4}}-\lambda-\mu_{1}=0, \quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}} =\tfrac{3}{4}\,x_{1}^{\frac{1}{4}}x_{2}^{-\frac{1}{4}}-3\lambda-\mu_{2}=0.
2) Complementaridade
\lambda\,(x_{1}+3x_{2}-36)=0, \quad \mu_{1}x_{1}=0, \quad \mu_{2}x_{2}=0.
3) Primal e dual factibilidade: x_{1}+3x_{2}\le36, x_{i}\ge0, \lambda,\mu_{i}\ge0.

Passo 3

Tentamos uma solução interior estrita: x_{1}>0, x_{2}>0 e x_{1}+3x_{2}<36. Então \lambda=0, \mu_{1}=0, \mu_{2}=0 e as estacionaridades dão
\tfrac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{4}}x_{2}^{\frac{3}{4}}=0, \quad \tfrac{3}{4}x_{1}^{\frac{1}{4}}x_{2}^{-\frac{1}{4}}=0,
impossível, pois essas derivadas são sempre positivas para x_{i}>0. Logo não há solução interior com restrição inativa.

Passo 4

Procuramos então solução com x_{1}>0, x_{2}>0 e x_{1}+3x_{2}=36. Daí \mu_{1}=\mu_{2}=0 e \lambda>0. As condições de estacionaridade viram
\tfrac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{4}}x_{2}^{\frac{3}{4}}=\lambda, \quad \tfrac{3}{4}x_{1}^{\frac{1}{4}}x_{2}^{-\frac{1}{4}}=3\lambda.
Dividindo a primeira pela segunda:
\frac{\tfrac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{4}}x_{2}^{\frac{3}{4}}} {\tfrac{3}{4}x_{1}^{\frac{1}{4}}x_{2}^{-\frac{1}{4}}} =\frac{\lambda}{3\lambda} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{3}\,\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{1}{3} \;\Longrightarrow\; \frac{x_{2}}{x_{1}}=1,
ou seja x_{2}=x_{1}.

Passo 5

Substituindo x_{2}=x_{1} na restrição ativa x_{1}+3x_{2}=36 obtém-se
x_{1}+3x_{1}=4x_{1}=36 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=9,
e então
x_{2}=9.

Resposta

x_{1}^{*}=9,\quad x_{2}^{*}=9.

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