Suponha agora que
e
. Admita, também, que
e que
. Resolva o problema do Caio, mas sem admitir que a restrição é ativa, ou seja, resolva:
Passo 1
O problema de Caio é
Aqui temos utilidade Cobb– Douglas e uma restrição orçamentária. Como não vamos supor a restrição ativa de antemão, vamos usar as condições de Karush– Kuhn– Tucker (KKT).]
Passo 2
Formulamos o Lagrangiano
com multiplicadores
. As condições KKT são:
) Estacionaridade
Passo 3
Tentamos uma solução interior estrita:
,
e
. Então
,
,
e as estacionaridades dão
impossível, pois essas derivadas são sempre positivas para
. Logo não há solução interior com restrição inativa.
Passo 4
Procuramos então solução com
,
e
. Daí
e
. As condições de estacionaridade viram
Dividindo a primeira pela segunda:
ou seja
.
Passo 5
Substituindo
na restrição ativa
obtém-se
e então