Uma peça cilíndrica oca feita de material condutor com condutividade uniforme
possui espessura
e raios interno e externo respectivamente
e
. Ela é cortada num plano longitudinal exatamente em três partes iguais. Para qualquer uma das partes:
a) Determine a resistência entre as suas faces retangulares.
b) Suponha que o material do cilindro seja aço inoxidável, e que se conecte uma fonte de 12 V cc às faces retangulares da peça. Sendo
, calcule a densidade de corrente num ponto distante
do centro.
c) Qual seria a potência dissipada nela?
a) Determine a resistência entre as suas faces retangulares.
b) Suponha que o material do cilindro seja aço inoxidável, e que se conecte uma fonte de 12 V cc às faces retangulares da peça. Sendo
c) Qual seria a potência dissipada nela?
Passo 1
O enunciado dá uma peça em forma de casca cilíndrica condutora com condutividade uniforme
, espessura axial
(altura da peça no sentido do eixo), raio interno
e raio externo
. A casca é cortada por planos longitudinais em três partes iguais (ou seja, cada fatia tem abertura angular
igual a um terço da circunferência). Para qualquer uma das partes pede-se:
a) a resistência entre as suas faces retangulares (as duas superfícies planas que surgem do corte longitudinal);
b) supondo que o material seja aço inoxidável e que se aplique uma fonte de às faces retangulares, com
, calcular a densidade de corrente num ponto a
do centro;
c) a potência dissipada na peça.
a) a resistência entre as suas faces retangulares (as duas superfícies planas que surgem do corte longitudinal);
b) supondo que o material seja aço inoxidável e que se aplique uma fonte de
c) a potência dissipada na peça.
Dados extraídos do enunciado:
Passo 2
Modelagem física e ideia de solução (passo-a-passo, sem ainda calcular):
- A diferença de potencial é aplicada entre as duas faces planas separadas pelo ângulo
. A corrente, portanto, circula no sentido azimutal (direção ) atravessando a peça entre as duas faces. - Considere um anel de raio
e espessura radial infinitesimal , altura axial . Nesse anel a corrente percorre um comprimento no sentido igual a . A área de seção que conduz nessa faixa é . - A resistência de um elemento cilíndrico (regra básica) é dada por
onde
é a resistividade do material e está relacionada com a condutividade
por
- Cada anel radial (entre
e ) fornece um caminho de corrente paralelo aos outros anéis (porque ambos os lados do anel estão ligados aos mesmos potenciais nas faces planas). Logo vamos calcular a condutância diferencial do anel e integrar em de a .
Passo 3
Cálculo da condutância do anel e integração:
Para o anel em temos comprimento
e área
. A resistência diferencial é
Para o anel em
A condutância diferencial (recíproco da resistência) é
Agora integramos
de
até
:
Como
, obtemos
A resistência total entre as faces é então
Substituindo
obtemos uma forma equivalente
Passo 4
Interpretação e resumo do resultado (resposta da alínea a):
- A resistência entre as faces retangulares de uma fatia é
(esta expressão é a resposta simbólica pedida em (a); ela permite calcular
quando
e
são conhecidos.)
Passo 5
Campo elétrico e densidade de corrente (conceito usado para (b)):
- As duas faces que estão conectadas à fonte são superfícies equipotenciais: uma a
e a outra a . Portanto, ao longo da direção o potencial varia linearmente entre as faces, e o campo elétrico na direção azimutal é
Explicação: o campo é a queda de potencial por unidade de comprimento; ao redor de um círculo de raio
a distância entre as faces ao longo de
é
, logo a diferença de potencial
distribuída uniformemente dá
.
- A densidade de corrente (lei de Ohm local) é
logo, em módulo,
Note que
depende de
: quanto maior o raio, menor a densidade para a mesma
.
Passo 6
Aplicação numérica para (b) e cálculo da corrente total e potência (c). Escolhas numéricas e conversões:
- Para o aço inoxidável (ex.: tipo 304) usaremos uma condutividade típica aproximada
(valor aproximado, razoável para cálculo numérico). Vou usar também . - Raios:
, . O ponto pedido está em . - Tensão aplicada
. Ângulo .
Cálculo de
em
:
Calculando numericamente (passo a passo):
. O numerador
. Portanto
Agora calculo da resistência numérica para obter corrente total e potência: usar a fórmula do Passo 3,
Substituindo
e
:
Corrente total:
Potência dissipada:
Observação rápida (motivacional): os números são muito grandes porque a peça é pequena e o aço inox tem condutividade relativamente alta; na prática isso significa que, com 12 V, haveria uma corrente enorme e aquecimento muito forte — cuidado experimental!
Resposta
(a)
(b) (usando
).
(c)
(b)
(c)