Uma peça cilíndrica oca feita de material condutor com condutividade uniforme g possui espessura a e raios interno e externo respectivamente 2 a e 4 a. Ela é cortada num plano longitudinal exatamente em três partes iguais. Para qualquer uma das partes:
a) Determine a resistência entre as suas faces retangulares.
b) Suponha que o material do cilindro seja aço inoxidável, e que se conecte uma fonte de 12 V cc às faces retangulares da peça. Sendo a=1.25 \mathrm{~cm}, calcule a densidade de corrente num ponto distante 3,5 \mathrm{~cm} do centro.
c) Qual seria a potência dissipada nela?

Passo 1

O enunciado dá uma peça em forma de casca cilíndrica condutora com condutividade uniforme g, espessura axial a (altura da peça no sentido do eixo), raio interno 2a e raio externo 4a. A casca é cortada por planos longitudinais em três partes iguais (ou seja, cada fatia tem abertura angular \theta igual a um terço da circunferência). Para qualquer uma das partes pede-se:
a) a resistência entre as suas faces retangulares (as duas superfícies planas que surgem do corte longitudinal);
b) supondo que o material seja aço inoxidável e que se aplique uma fonte de 12\\ \mathrm{V} às faces retangulares, com a=1{,}25\\ \mathrm{cm}, calcular a densidade de corrente num ponto a 3{,}5\\ \mathrm{cm} do centro;
c) a potência dissipada na peça.
Dados extraídos do enunciado:
\theta=\frac{2\pi}{3},\qquad r_{\mathrm{in}}=2a,\qquad r_{\mathrm{out}}=4a,\qquad a\\ (\text{axial})\\ \text{(dado numérico só em b)}.éó

Passo 2

Modelagem física e ideia de solução (passo-a-passo, sem ainda calcular):
  • A diferença de potencial é aplicada entre as duas faces planas separadas pelo ângulo \theta. A corrente, portanto, circula no sentido azimutal (direção \varphi) atravessando a peça entre as duas faces.
  • Considere um anel de raio r e espessura radial infinitesimal \mathrm{d}r, altura axial a. Nesse anel a corrente percorre um comprimento no sentido \varphi igual a r\theta. A área de seção que conduz nessa faixa é A=a\,\mathrm{d}r.
  • A resistência de um elemento cilíndrico (regra básica) é dada por
R=\rho\frac{\text{comprimento}}{\text{área}},á
onde \rho é a resistividade do material e está relacionada com a condutividade g por
\rho=\frac{1}{g}.
  • Cada anel radial (entre r e r+\mathrm{d}r) fornece um caminho de corrente paralelo aos outros anéis (porque ambos os lados do anel estão ligados aos mesmos potenciais nas faces planas). Logo vamos calcular a condutância diferencial \mathrm{d}G do anel e integrar em r de r_{\mathrm{in}} a r_{\mathrm{out}}.

Passo 3

Cálculo da condutância do anel e integração:
Para o anel em r temos comprimento L=r\theta e área A=a\,\mathrm{d}r. A resistência diferencial é
\mathrm{d}R=\rho\frac{r\theta}{a\,\mathrm{d}r}=\frac{1}{g}\frac{r\theta}{a\,\mathrm{d}r}.
A condutância diferencial (recíproco da resistência) é
\mathrm{d}G=\frac{1}{\mathrm{d}R}=g\frac{a\,\mathrm{d}r}{r\theta}.
Agora integramos \mathrm{d}G de r=2a até r=4a:
G=\int_{2a}^{4a} g\frac{a}{\theta}\frac{\mathrm{d}r}{r}=\frac{g a}{\theta}\int_{2a}^{4a}\frac{\mathrm{d}r}{r}=\frac{g a}{\theta}\ln\!\left(\frac{4a}{2a}\right).
Como \dfrac{4a}{2a}=2, obtemos
G=\frac{g a}{\theta}\ln 2.
A resistência total entre as faces é então
R=\frac{1}{G}=\frac{\theta}{g a\ln 2}.
Substituindo \theta=\dfrac{2\pi}{3} obtemos uma forma equivalente
R=\frac{2\pi}{3\,g\,a\,\ln 2}.

Passo 4

Interpretação e resumo do resultado (resposta da alínea a):
  • A resistência entre as faces retangulares de uma fatia é
\boxed{R=\dfrac{\theta}{g\,a\,\ln 2}=\dfrac{2\pi}{3\,g\,a\,\ln 2}.}
(esta expressão é a resposta simbólica pedida em (a); ela permite calcular R quando g e a são conhecidos.)

Passo 5

Campo elétrico e densidade de corrente (conceito usado para (b)):
  • As duas faces que estão conectadas à fonte são superfícies equipotenciais: uma a V e a outra a 0. Portanto, ao longo da direção \varphi o potencial varia linearmente entre as faces, e o campo elétrico na direção azimutal é
E_{\varphi}(r)=\frac{V}{\text{comprimento da trajetória}}=\frac{V}{r\theta}.ó
Explicação: o campo é a queda de potencial por unidade de comprimento; ao redor de um círculo de raio r a distância entre as faces ao longo de \varphi é r\theta, logo a diferença de potencial V distribuída uniformemente dá E_{\varphi}=V/(r\theta).
  • A densidade de corrente (lei de Ohm local) é
\mathbf{J}(r)=g\,\mathbf{E}(r),
logo, em módulo,
J(r)=g\frac{V}{r\theta}.
Note que J depende de 1/r: quanto maior o raio, menor a densidade para a mesma V.

Passo 6

Aplicação numérica para (b) e cálculo da corrente total e potência (c). Escolhas numéricas e conversões:
  • Para o aço inoxidável (ex.: tipo 304) usaremos uma condutividade típica aproximada \displaystyle g=1{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{S/m} (valor aproximado, razoável para cálculo numérico). Vou usar também a=1{,}25\\ \mathrm{cm}=0{,}0125\\ \mathrm{m}.
  • Raios: r_{\mathrm{in}}=2a=2{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}025\\ \mathrm{m}, r_{\mathrm{out}}=4a=5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}. O ponto pedido está em r=3{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}035\\ \mathrm{m}.
  • Tensão aplicada V=12\\ \mathrm{V}. Ângulo \theta=2\pi/3.
Cálculo de J em r=0{,}035\\ \mathrm{m}:
J(0{,}035)=g\frac{V}{r\theta}=\left(1{,}4\times10^{6}\right)\frac{12}{0{,}035\cdot\left(2\pi/3\right)}.
Calculando numericamente (passo a passo): r\theta=0{,}035\cdot\frac{2\pi}{3}\approx0{,}0733038\\ \mathrm{m}. O numerador gV=1{,}4\times10^{6}\cdot12=1{,}68\times10^{7}. Portanto
J(0{,}035)\approx\frac{1{,}68\times10^{7}}{0{,}0733038}\approx2{,}29\times10^{8}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Agora calculo da resistência numérica para obter corrente total e potência: usar a fórmula do Passo 3,
R=\frac{2\pi}{3\,g\,a\,\ln 2}.
Substituindo g=1{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{S/m} e a=0{,}0125\\ \mathrm{m}:
R\approx\frac{2{,}\pi}{3\cdot(1{,}4\times10^{6})\cdot0{,}0125\cdot\ln 2}\approx1{,}73\times10^{-4}\\ \Omega.
Corrente total:
I=\frac{V}{R}\approx\frac{12}{1{,}73\times10^{-4}}\approx6{,}95\times10^{4}\\ \mathrm{A}.
Potência dissipada:
P=V\cdot I=\frac{V^{2}}{R}\approx\frac{144}{1{,}73\times10^{-4}}\approx8{,}34\times10^{5}\\ \mathrm{W}.
Observação rápida (motivacional): os números são muito grandes porque a peça é pequena e o aço inox tem condutividade relativamente alta; na prática isso significa que, com 12 V, haveria uma corrente enorme e aquecimento muito forte — cuidado experimental!

Resposta

(a) \displaystyle R=\dfrac{\theta}{g\,a\,\ln 2}=\dfrac{2\pi}{3\,g\,a\,\ln 2}.
(b) \displaystyle J\bigl(r=3,5\\ \mathrm{cm}\bigr)\approx 2{,}29\times10^{8}\\ \mathrm{A/m^{2}} (usando g=1{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}).
(c) \displaystyle P\approx 8{,}34\times10^{5}\\ \mathrm{W}.

Exercícios relacionados