A resistência elétrica de um fio de cobre, em função temperatura é dada por:
R=R_{0}\left[1+\alpha\left(T-T_{0}\right)\right]
onde,
R_{0}=(6,00 \pm 0,1) \Omega (na temperatura To)
\alpha=\left(4,0.10^{-4} \pm 2.10^{-5}\right) C^{-1}
T=(40,0 \pm 0,8){ }^{\circ} \mathrm{C}
T_{0}=(20,0 \pm 0,4){ }^{\circ} \mathrm{C}
Calcule R com a seu respectivo erro

Passo 1

O enunciado pede para calcular a resistência R do fio e o erro associado, usando a fórmula
R = R_{0}\left[1+\alpha\left(T-T_{0}\right)\right].
As informações fornecidas (vou listar exatamente como vieram) são:
R_{0}=(6,00\pm 0,1)\\ \Omega,
\alpha=\bigl(4,0\times 10^{-4}\pm 2\times 10^{-5}\bigr)\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1},
T=(40,0\pm 0,8)\\ ^\circ\mathrm{C},
T_{0}=(20,0\pm 0,4)\\ ^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: calcular R numérico usando esses valores e estimar o erro em R levando em conta as incertezas dadas. Todas as grandezas são independentes (assumiremos isso).

Passo 2

Calcular primeiro a diferença de temperatura \Delta T = T-T_{0} e seu erro.
Fórmula da diferença:
\Delta T = T - T_{0}.
Valor numérico:
\Delta T = 40,0 - 20,0 = 20,0\\ ^\circ\mathrm{C}.
Como T e T_{0} são medidas independentes, a incerteza em \Delta T é dada por soma em quadratura:
\sigma_{\Delta T} = \sqrt{\sigma_{T}^{2}+\sigma_{T_{0}}^{2}}.
Substituindo os valores:
\sigma_{\Delta T} = \sqrt{(0,8)^{2} + (0,4)^{2}} = \sqrt{0,64 + 0,16} = \sqrt{0,80}=0,894427\ldots\\ ^\circ\mathrm{C}.
Vou guardar arredondado para cálculo numérico mais adiante como \sigma_{\Delta T}\approx 0,8944\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Calcular o valor nominal de R (usando os valores centrais):
Primeiro calcular o fator multiplicador:
\alpha\,\Delta T = (4,0\times 10^{-4})\times 20,0 = 8,0\times 10^{-3} = 0,008.
Então
R = R_{0}\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr) = 6,00\times(1 + 0,008)=6,00\times 1,008 = 6,048\\ \Omega.
Portanto o valor central é \;6,048\\ \Omega.

Passo 4

Explicar e escrever a fórmula de propagação de erros que vamos usar.
Para uma função R(R_{0},\alpha,\Delta T) aproximamos pequenos erros pela expansão linear (primeira ordem). Se as variáveis são independentes, a variância de R é:
\sigma_{R}^{2} = \left(\frac{\partial R}{\partial R_{0}}\right)^{2}\sigma_{R_{0}}^{2} +\left(\frac{\partial R}{\partial \alpha}\right)^{2}\sigma_{\alpha}^{2} +\left(\frac{\partial R}{\partial \Delta T}\right)^{2}\sigma_{\Delta T}^{2}.
Aqui cada \sigma é o desvio padrão (incerteza) da respectiva variável. Essa fórmula vem da regra de propagação de erros para combinação linear de pequenas perturbações.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais necessárias (explicar o porquê de cada uma):
A função é \;R = R_{0}\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr).
  • Derivada em relação a R_{0}:
\frac{\partial R}{\partial R_{0}} = 1+\alpha\Delta T.
Isto diz quanto R muda quando R_{0} varia, mantendo os outros fixos.
  • Derivada em relação a \alpha:
\frac{\partial R}{\partial \alpha} = R_{0}\,\Delta T.
Isto mede a sensibilidade de R à variação do coeficiente térmico \alpha.
  • Derivada em relação a \Delta T:
\frac{\partial R}{\partial \Delta T} = R_{0}\,\alpha.
Isto mede a sensibilidade de R à variação da diferença de temperatura.
Agora substituímos os valores numéricos nessas derivadas:
\frac{\partial R}{\partial R_{0}} = 1 + 0,008 = 1,008,
\frac{\partial R}{\partial \alpha} = 6,00\times 20,0 = 120,0,
\frac{\partial R}{\partial \Delta T} = 6,00\times 4,0\times 10^{-4} = 0,0024.

Passo 6

Calcular as contribuições individuais para a variância \sigma_{R}^{2}.
Usamos:
\sigma_{R_{0}}=0,1\\ \Omega,\qquad \sigma_{\alpha}=2\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1},\qquad \sigma_{\Delta T}\approx 0,894427\\ ^\circ\mathrm{C}.
Contribuição de R_{0}:
\left(\frac{\partial R}{\partial R_{0}}\right)^{2}\sigma_{R_{0}}^{2} = (1,008)^{2}\times (0,1)^{2} =1,016064\times 0,01 = 0,01016064\\ \Omega^{2}.
Contribuição de \alpha:
\left(\frac{\partial R}{\partial \alpha}\right)^{2}\sigma_{\alpha}^{2} = (120,0)^{2}\times (2\times 10^{-5})^{2} =14400\times 4\times 10^{-10} = 5,76\times 10^{-6}\\ \Omega^{2}.
Contribuição de \Delta T:
\left(\frac{\partial R}{\partial \Delta T}\right)^{2}\sigma_{\Delta T}^{2} = (0,0024)^{2}\times (0,894427)^{2}.
Calculemos passo a passo:
(0,0024)^{2}=5,76\times 10^{-6},
(0,894427)^{2}=0,800000\\ (\text{como já vimos}),á
então
(0,0024)^{2}\times (0,894427)^{2} = 5,76\times 10^{-6}\times 0,8 = 4,608\times 10^{-6}\\ \Omega^{2}.

Passo 7

Somar as contribuições para obter a variância total e depois a incerteza \sigma_{R}:
Somando:
\sigma_{R}^{2} = 0,01016064 + 5,76\times 10^{-6} + 4,608\times 10^{-6} =0,01016064 + 0,000010368 = 0,010171008\\ \Omega^{2}.
Agora a incerteza:
\sigma_{R} = \sqrt{0,010171008}\approx 0,10085\\ \Omega.
Arredondando a incerteza com duas cifras significativas (prática comum), temos \sigma_{R}\approx 0,10\\ \Omega.
Quando a incerteza é 0,10\\ \Omega devemos reportar R com a mesma casa decimal: o valor calculado foi 6,048\\ \Omega, então arredondamos para a segunda casa decimal: 6,05\\ \Omega.

Passo 8

Resumo final (antes da resposta formatada): o cálculo dá R=6,048\\ \Omega com erro \sigma_{R}\approx 0,101\\ \Omega. Arredondando adequadamente: R=(6,05\pm 0,10)\\ \Omega.

Resposta

R=(6,05\pm 0,10)\\ \Omega

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