Imagine que um homem está sobre um vagão aberto contendo minério de Ferro, de massa total M=5.000 \mathrm{~kg}. O vagão está parado sobre trilhos sem atrito.
O homem deseja colocar o vagão em movimento sobre os trilhos, porém ele consegue no máximo:
  • Levantar um peso de 50 kg .
  • Jogar um objeto para fora do trilho a uma velocidade de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
    A) Qual será a velocidade máxima atingida pelo trilho com apenas um lançamento ?
    B) Qual deveria ser a massa de minério de ferro jogada (na velocidade máxima) para fora do vagão para esse se movimentar a uma velocidade de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?
Escolha uma opção:
◯ a. 5,05 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 83,3 \mathrm{~kg}.
◯ b. 5,00 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e 1000 kg .
◯ C. 1,05 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e 550 kg .
◯ d. 5,05 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e 833 kg .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
  • Massa total inicial do vagão com minério (antes de jogar qualquer coisa): M = 5000\\ \mathrm{kg}.
  • O homem consegue levantar/jogar no máximo uma massa de 50\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade de arremesso (relativa ao vagão) de um objeto: u = 5\\ \mathrm{m/s} (o enunciado diz “jogar … a uma velocidade de 5\\ \mathrm{m/s}”; aqui interpretamos isso como velocidade relativa ao vagão).
    O enunciado pede:
    (a) qual a velocidade máxima do vagão obtida com apenas um lançamento (usar a massa máxima que o homem consegue lançar, ou seja 50\\ \mathrm{kg});
    (b) qual massa de minério deve ser jogada (com a mesma velocidade máxima de arremesso) para que o vagão se mova com 1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): como os trilhos são sem atrito e não há forças externas horizontais importantes, a quantidade de movimento (momentum linear) na direção horizontal do sistema vagão+objeto é conservada durante o lançamento. Conservação do momentum significa que a soma dos momentos (massa × velocidade) antes do evento é igual à soma depois do evento.
Antes do lançamento o sistema está em repouso, então o momentum inicial é zero. Depois do lançamento teremos duas partes: a massa ejetada (que vai para trás) e o restante do vagão+minério (que passa a mover-se para frente). Vamos definir variáveis claras:
  • m = massa que é jogada para trás (em kg).
  • v = velocidade final do vagão (e do restante do minério) em referência ao solo (em m/s), positiva para frente.
  • u = velocidade do objeto em relação ao vagão no momento do lançamento; o enunciado dá u=5\\ \mathrm{m/s} e vamos tomar u como magnitude do lançamento para trás.
Agora relacionar velocidades no referencial do solo. Se o vagão, após o lançamento, move-se para frente com velocidade v, e o objeto foi lançado para trás com velocidade relativa -u no referencial do vagão, então a velocidade do objeto no solo é
v_{\text{obj}} = v + v_{\text{rel}} = v - u.
Aplicando conservação do momentum (momentum inicial =0):
0 = (M - m)\,v + m\,v_{\text{obj}}.
Substituindo v_{\text{obj}} = v - u obtemos:
0 = (M - m)\,v + m\,(v - u) = M v - m u.
Isolando v obtemos a expressão geral (muito útil!):
v = \frac{m\,u}{M}.
Observação didática: repare que v depende apenas de m, u e da massa total inicial M. Isso ocorre porque o momentum inicial era zero e todo impulso vem do arremesso do fragmento de massa m.

Passo 3

Agora resolvemos a parte (A). Usamos m=50\\ \mathrm{kg}, u=5\\ \mathrm{m/s} e M=5000\\ \mathrm{kg} na fórmula
v = \frac{m\,u}{M}.
Substituindo:
v = \frac{50\cdot 5}{5000}=\frac{250}{5000}=0,05\\ \mathrm{m/s}.
Converter para centímetros por segundo (opção nas alternativas usa \mathrm{cm/s}):
0,05\\ \mathrm{m/s} = 5{,}00\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 4

Agora a parte (B). Queremos que o vagão atinja v=1\\ \mathrm{m/s}. Usamos a mesma fórmula e resolvemos para m:
v = \frac{m\,u}{M}\quad\Longrightarrow\quad m = \frac{M\,v}{u}.
Substituindo M=5000\\ \mathrm{kg}, v=1\\ \mathrm{m/s}, u=5\\ \mathrm{m/s}:
m = \frac{5000\cdot 1}{5} = 1000\\ \mathrm{kg}.
Comentário prático: isso significa que seria preciso jogar 1000 kg do minério para trás, com velocidade relativa de 5\\ \mathrm{m/s}, para que o restante do vagão alcance 1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Checagem rápida de consistência: os valores obtidos são razoáveis numericamente e provêm diretamente da fórmula linear v=(m u)/M. Observação física: jogar 1000 kg de um total de 5000 kg é drástico (20% da massa total), por isso é um valor grande mas consistente com a conta.

Resposta

v_{\text{máx}}=0{,}05\\ \mathrm{m/s}=5{,}00\\ \mathrm{cm/s}á
m=1000\\ \mathrm{kg}
(b)

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