Uma máquina de indução trifásica de 6 polos usada em turbinas eólicas tem as seguintes especificações: V_{\mathrm{LL}}=600 \mathrm{~V} (eficaz) a 60 Hz , a potência elétrica de saída nominal P_{\text {out }}=1,5 \mathrm{MW}, o escorregamento nominal s_{\text {nominal }}=1 \%. Supondo que a eficiência da máquina seja de aproximadamente 95 \% enquanto opera perto da potência elétrica nominal, calcule o torque nominal se a máquina for operada como um gerador.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tensão linha-linha V_{\mathrm{LL}}=600\\ \mathrm{V} (não será necessária diretamente para o torque aqui).
    • Frequência f=60\\ \mathrm{Hz}.
    • Número de polos p=6.
    • Potência elétrica de saída nominal P_{\text{out}}=1{,}5\\ \mathrm{MW}.
    • Escorregamento nominal s_{\text{nominal}}=1\% (magnitude do escorregamento).
    • Eficiência aproximada \eta=95\% enquanto opera perto da potência nominal.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o torque nominal quando a máquina é operada como gerador.

Passo 2

Entender e calcular a velocidade síncrona da máquina (passo necessário para achar a velocidade mecânica do rotor).
  • Fórmula da velocidade síncrona em rpm:
n_s = \frac{120\,f}{p},
onde n_s é a velocidade síncrona em rpm, f é a frequência em Hz e p é o número de polos.
  • Substituindo f=60\\ \mathrm{Hz} e p=6:
n_s = \frac{120\cdot 60}{6} = 1200\\ \text{rpm}.
Explicação breve: a velocidade síncrona é a rotação do campo magnético síncrono produzido pela rede; para uma máquina de 6 polos em 60 Hz, o campo “gira” a 1200 rpm.

Passo 3

Interpretar o escorregamento para operação como gerador e calcular a velocidade mecânica do rotor.
  • Definição de escorregamento (convencional): s=\dfrac{n_s-n_r}{n_s}, onde n_r é a velocidade do rotor (rpm). Para motorização n_r<n_s e s>0. Para geração n_r>n_s e s<0.
  • O enunciado deu o valor absoluto s_{\text{nominal}}=1\%. Ao operar como gerador, a máquina gira ligeiramente acima de n_s com magnitude de escorregamento 1\%. Vou usar essa interpretação prática (velocidade do rotor n_r igual a 1{,}01\,n_s):
n_r = (1+0{,}01)\,n_s = 1{,}01\cdot 1200 = 1212\\ \text{rpm}.
Observação: se alguém definisse s com sinal, teria s=-0{,}01 em modo gerador; usei a magnitude para calcular n_r.

Passo 4

Converter a potência elétrica de saída em potência mecânica de entrada usando a eficiência.
  • Relação entre potências e eficiência na operação como gerador:
P_{\text{mech}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta},
onde P_{\text{mech}} é a potência mecânica entregue pelo eixo (entrada para a máquina no modo gerador), P_{\text{out}} é a potência elétrica entregue à rede e \eta a eficiência (valor numérico entre 0 e 1).
  • Substituindo P_{\text{out}}=1{,}5\\ \mathrm{MW} e \eta=0{,}95:
P_{\text{mech}}=\frac{1{,}5\times 10^{6}}{0{,}95}=1{,}578\,947{,}368\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Calcular a velocidade angular do rotor \omega_m (em rad/s) a partir de n_r.
  • Fórmula de conversão:
\omega_m = \frac{2\pi n_r}{60},
onde n_r está em rpm.
  • Substituindo n_r=1212\\ \text{rpm}:
\omega_m = \frac{2\pi\cdot 1212}{60} = 2\pi\cdot 20{,}2 = 40{,}4\pi \approx 126{,}92\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação: a relação transforma rotações por minuto em radianos por segundo ( 1\\ \text{rpm} = 2\pi/60\\ \mathrm{rad/s}).

Passo 6

Calcular o torque nominal usando a relação entre potência mecânica, torque e velocidade angular.
  • Relação básica:
P_{\text{mech}} = \tau\,\omega_m,
onde \tau é o torque em \mathrm{N\cdot m} e \omega_m em \mathrm{rad/s}. Assim,
\tau = \frac{P_{\text{mech}}}{\omega_m}.
  • Substituindo os valores numéricos:
\tau = \frac{1{,}578\,947{,}368\\ \mathrm{W}}{126{,}920343205\\ \mathrm{rad/s}}\approx 12{,}440{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando de forma prática, \tau \approx 1{,}244\times 10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 7

Comentário prático e checagem rápida (motivação e encorajamento).
  • Como o escorregamento é pequeno, se em vez de usar n_r=1212\\ \text{rpm} alguém usasse a velocidade síncrona n_s=1200\\ \text{rpm} a diferença no torque seria pequena (ordem de 1%). O valor calculado acima já é adequado para a prova e para estimativas de projeto.
  • Você já conseguiu: torque nominal do gerador ~ 1{,}24\times 10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m}. Ótimo trabalho — segue firme!

Resposta

\tau_{\text{nominal}}\approx 1{,}244\times 10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m}

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