Um objeto de 3,0 \mathrm{~kg} está em repouso na origem no tempo \mathrm{t}=0. Sobre ele é submetido duas forças constantes, \vec{F}_{1}=(3,0 \mathrm{~N}) \hat{\imath}-(2,0 \mathrm{~N}) \hat{\jmath} e \vec{F}_{2}=(6,0 \mathrm{~N}) \hat{\imath}+(-9,0 \mathrm{~N}) \hat{\jmath}. Qual a aceleração \vec{a} do objeto e no tempo \mathrm{t}=4,0 s qual a sua velocidade?

Passo 1

O enunciado nos dá as informações seguintes (vou listar tudo de forma clara para a gente não se perder):
  • Massa do objeto: m=3{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • O objeto está em repouso no instante inicial: \vec{v}(0)=\vec{0}.
  • Duas forças constantes atuam sobre ele:
    • \vec{F}_1 = (3{,}0\\ \mathrm{N})\hat{\imath} - (2{,}0\\ \mathrm{N})\hat{\jmath}.
    • \vec{F}_2 = (6{,}0\\ \mathrm{N})\hat{\imath} - (9{,}0\\ \mathrm{N})\hat{\jmath}.
  • O que o problema pede:
    1. A aceleração \vec{a} do objeto (vetor).
    2. A velocidade \vec{v} do objeto no tempo t=4{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Qual é a relação física que liga forças, massa e aceleração? Vamos explicar isso com calma.
A segunda lei de Newton (forma mais usada em problemas de mecânica clássica) diz que a resultante das forças aplicadas num corpo é igual à massa vezes a aceleração do corpo. Em fórmulas:
\sum \vec{F} = m\,\vec{a}.
Aqui:
  • \sum \vec{F} é a soma vetorial (resultante) de todas as forças que atuam no corpo;
  • m é a massa do corpo (em kg);
  • \vec{a} é a aceleração (em \mathrm{m/s^2}).
Como as forças são vetoriais, somam-se componente a componente: soma das componentes em \hat{\imath} dá a componente x, e soma das componentes em \hat{\jmath} dá a componente y. Depois de obter \sum \vec{F} isolamos \vec{a} dividindo por m:
\vec{a}=\frac{\sum \vec{F}}{m}.

Passo 3

Vamos somar as forças componente a componente (mostrando passo a passo):
Componente x:
F_{x,\text{res}} = 3{,}0\\ \mathrm{N} + 6{,}0\\ \mathrm{N} = 9{,}0\\ \mathrm{N}.
Componente y:
F_{y,\text{res}} = -2{,}0\\ \mathrm{N} + (-9{,}0\\ \mathrm{N}) = -11{,}0\\ \mathrm{N}.
Logo a força resultante é
\sum \vec{F} = (9{,}0\\ \mathrm{N})\hat{\imath} - (11{,}0\\ \mathrm{N})\hat{\jmath}.
(Comentário rápido e amigo: somar vetores assim é só somar os números das mesmas direções — não dá medo.)

Passo 4

Agora usamos \vec{a}=\dfrac{\sum \vec{F}}{m}. Dividimos cada componente da força resultante pela massa m=3{,}0\\ \mathrm{kg}.
Componente x da aceleração:
a_x = \frac{9{,}0\\ \mathrm{N}}{3{,}0\\ \mathrm{kg}} = 3{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.
Componente y da aceleração:
a_y = \frac{-11{,}0\\ \mathrm{N}}{3{,}0\\ \mathrm{kg}} = -\frac{11}{3}\\ \mathrm{m/s^2}\approx -3{,}666\ldots\\ \mathrm{m/s^2}.
Portanto a aceleração vetorial é
\vec{a} = (3{,}0\\ \mathrm{m/s^2})\hat{\imath} - \left(\frac{11}{3}\\ \mathrm{m/s^2}\right)\hat{\jmath}.

Passo 5

Agora queremos a velocidade no tempo t=4{,}0\\ \mathrm{s}. Com aceleração constante vale a fórmula (cinemática básica):
\vec{v}(t) = \vec{v}(0) + \vec{a}\,t.
Como \vec{v}(0)=\vec{0} (o objeto parte do repouso), temos simplesmente \vec{v}(t)=\vec{a}\,t.
Multiplicamos cada componente de \vec{a} por t=4{,}0\\ \mathrm{s}.
Componente x da velocidade:
v_x(4{,}0) = 3{,}0\\ \mathrm{m/s^2}\times 4{,}0\\ \mathrm{s} = 12{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Componente y da velocidade:
v_y(4{,}0) = -\frac{11}{3}\\ \mathrm{m/s^2}\times 4{,}0\\ \mathrm{s} = -\frac{44}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx -14{,}666\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Assim
\vec{v}(4{,}0\\ \mathrm{s}) = (12{,}0\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath} - \left(\frac{44}{3}\\ \mathrm{m/s}\right)\hat{\jmath}.

Resposta

\vec{a} = (3{,}0\\ \mathrm{m/s^2})\hat{\imath} - \bigl(\tfrac{11}{3}\\ \mathrm{m/s^2}\bigr)\hat{\jmath}
\vec{v}(4{,}0\\ \mathrm{s}) = (12{,}0\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath} - \bigl(\tfrac{44}{3}\\ \mathrm{m/s}\bigr)\hat{\jmath}

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