O rim humano remove todos os tipos de moléculas do nosso corpo. Isso inclui remédios que você pode receber no seu sangue durante uma doença grave. Este poderia ser um antibiótico, como a Gentamicina. Quanto tempo leva para remover
da Gentamicina do corpo. Nós assumimos que a ingestão é instantânea e que seu sangue tem uma concentração de
de gentamicina.
Nossos rins não processam toda a corrente sanguínea durante um ciclo. Eles processam aproximadamente
da corrente sanguínea total. Eles não removem toda a gentamicina que flui através deles; na verdade, apenas uma pequena fração. Podemos modelar isso afirmando que um fluxo sanguíneo de
está passando pelos nossos rins e é completamente limpo da gentamicina.
Podemos tratar nosso sistema sanguíneo como um tanque e nosso coração como a bomba (de volume insignificante) que bombeia o sangue. Para a remoção da Gentamicina,
de sangue flui através dos nossos rins e é limpo. Para a modelagem deste sistema, trate o sistema sanguíneo como um tanque de 5 L .
Configure um balanço de massa para o sistema sanguíneo, tratando-o como um tanque. A massa a ser considerada é a da gentamicina. Em t
, a concentração de Gentamicina é
. Resolva esse balanço de massa e calcule quanto tempo em horas leva antes que a concentração de Gentamicina seja metade e o
da concentração inicial.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados fornecidos:
- Concentração inicial:
. - Volume do “tanque” (sistema sanguíneo):
. - Fluxo de sangue que passa pelos rins e é completamente limpo:
.
- Concentração inicial:
- Objetivo do problema:
- Configurar o balanço de massa para a gentamicina no sangue (tratar o sangue como um tanque bem misturado).
- Resolver o balanço (obter
). - Calcular o tempo (em horas) até que a concentração caia para metade da inicial (
). - Calcular o tempo (em horas) até que reste
da concentração inicial (isto é, removido), ou seja .
- Observação de modelagem (necessária para os balanços):
- Assume-se que o sangue que entra no tanque tem concentração zero de gentamicina (o fluxo limpo é substituído por sangue “limpo”), e o volume total do tanque permanece constante.
Passo 2
Escolhendo variáveis e escrevendo o balanço de massa simples:
- Seja
a concentração de gentamicina no tanque (unidades: por exemplo, mg/mL) no tempo . - Massa total de gentamicina no tanque:
, onde é o volume do tanque. - Taxa de remoção (massa por tempo) ocorre porque um fluxo
sai do tanque com a mesma concentração . Aqui . - Balanço de massa geral (entrada menos saída) para massa de gentamicina:
Como o sangue que entra tem , a entrada de massa é zero. A saída de massa é .
Passo 3
Escrever explicitamente a equação diferencial:
- Como
e é constante, tem-se: - Dividindo por
obtemos a equação diferencial de primeiro ordem: - Esta é uma equação diferencial linear homogênea e também é o modelo típico de decaimento exponencial (processo de mistura perfeito ou CSTR).
Passo 4
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (aulas rápidas no passo):
- A equação a separar:
onde definimos a constante de taxa . - Separando as variáveis:
- Integrando ambos os lados entre
e e entre e : - Avaliando as integrais:
- Exponenciando:
- Comentário didático: isto significa que a concentração decai exponencialmente; a constante
é a taxa de remoção (maior → mais rápido decai).
Passo 5
Calcular numericamente a constante
:
- Converter volumes para mesmas unidades:
. - O fluxo é
. - Portanto
- Interpretação: a cada segundo, uma fração
da concentração é removida (no modelo exponencial).
Passo 6
Tempo para a concentração cair à metade (
) — cálculo passo a passo:
- Partindo de
e impondo : - Tomando ln dos dois lados:
- Isolando
: - Substituindo
: - Converter para horas:
, então - Em horas e minutos:
aproximadamente.
Passo 7
Tempo para restar
da concentração inicial (
) — passo a passo:
- Começando de
e impondo : - Tomando ln:
- Isolando
: - Numérico:
. Logo - Converter para horas:
- Em horas e minutos: cerca de
.
Passo 8
Resumo interpretativo rápido (motivações para lembrar na prova):
- O modelo é exatamente o mesmo que o de um tanque perfeitamente misturado com vazão de saída igual à vazão de entrada (concentração de entrada zero). Dá decaimento exponencial com constante
. - A meia-vida no modelo é
. Para valores práticos, sempre converta unidades (mL e s aqui). - Para qualquer fração
da concentração inicial resolve-se .
Resposta
Tempo para
:
Tempo para
: