As seguintes reações reversíveis ocorrem em um reator de síntese de materiais:
\begin{aligned} & \mathrm{A}+2 \mathrm{~B}=\mathrm{C}+\mathrm{D} \\\ & 2 \mathrm{D}+\mathrm{B}=\mathrm{E} \\\ & \mathrm{E}+\mathrm{B}=\mathrm{A} \end{aligned}
Suponha que 10 \mathrm{mols} / \mathrm{s} de \mathrm{A}, 50 \mathrm{mols} / \mathrm{s} de B e 5 \mathrm{mols} / \mathrm{s} de D sejam alimentados ao reator e a corrente do produto é amostrada e verificou-se conter 30 \% molar C, 20% molar de A e 5% molar E. Quantas mols de cada componente deixam o reator? e qual é a porcentagem de conversão de A e B?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Alimentações (dados do enunciado):
    • 10\\ \mathrm{mol/s} de \mathrm{A}.
    • 50\\ \mathrm{mol/s} de \mathrm{B}.
    • 5\\ \mathrm{mol/s} de \mathrm{D}.
    • Não são mencionadas alimentações de \mathrm{C} e \mathrm{E} (assume-se 0\\ \mathrm{mol/s}).
  • Reações (todas reversíveis, mas vamos trabalhar com extensões algébricas): \begin{aligned} &\text{(1)}\quad \mathrm{A} + 2\mathrm{B} \longleftrightarrow \mathrm{C} + \mathrm{D},\\[4pt] &\text{(2)}\quad 2\mathrm{D} + \mathrm{B} \longleftrightarrow \mathrm{E},\\[4pt] &\text{(3)}\quad \mathrm{E} + \mathrm{B} \longleftrightarrow \mathrm{A}. \end{aligned}
  • Composição da corrente de produto (medida):
    • 30\% molar de \mathrm{C}: \,y_C=0{,}30.
    • 20\% molar de \mathrm{A}: \,y_A=0{,}20.
    • 5\% molar de \mathrm{E}: \,y_E=0{,}05.
    • As frações molares restantes (45%) são de \mathrm{B} e \mathrm{D}.
  • O que pede:
    1. Quantas mols de cada componente (fluxos mol/s) saem do reator?
    2. Qual a porcentagem de conversão de \mathrm{A} e de \mathrm{B}?
Observação: ainda não começamos a resolver — apenas identifiquei claramente os dados e o que se pede.]

Passo 2

Escolha do método e representação por extensões de reação (explicando o conceito).
  • Método: usar extensões de reação ( \xi) e balanços estequiométricos. Cada reação tem uma extensão \xi_j (pode ser positiva ou negativa): multiplicando a estequiometria pela extensão obtém-se a variação de mols por segundo de cada espécie devido a cada reação. Somando isso à alimentação obtemos o fluxo de saída.
  • Vantagem: é um método direto e sistemático para misturar reações simultâneas.
  • Definir extensões (assumindo como “frente direta” as equações escritas):
    • \xi_1 para a reação (1).
    • \xi_2 para a reação (2).
    • \xi_3 para a reação (3).
Montando a tabela estequiométrica (variação de mol/s = coeficiente estequiométrico × \xi):
  • Para (1): \Delta n_A=-1, \Delta n_B=-2, \Delta n_C=+1, \Delta n_D=+1.
  • Para (2): \Delta n_D=-2, \Delta n_B=-1, \Delta n_E=+1.
  • Para (3): \Delta n_E=-1, \Delta n_B=-1, \Delta n_A=+1.
Agora escrevemos os fluxos de saída (variáveis) em função das alimentações e das extensões.

Passo 3

Equações de balanço molar (escrever as expressões para os fluxos de saída).
Sejam as alimentações:
\begin{aligned} &F_{A0}=10,\quad F_{B0}=50,\quad F_{C0}=0,\quad F_{D0}=5,\quad F_{E0}=0\quad(\text{em }\mathrm{mol/s}). \end{aligned}
Os fluxos de saída F_i ficam (somando alimentação + contribuição das reações):
\begin{aligned} &F_A = 10 - \xi_1 + \xi_3,\\[4pt] &F_B = 50 - 2\xi_1 - \xi_2 - \xi_3,\\[4pt] &F_C = 0 + \xi_1 = \xi_1,\\[4pt] &F_D = 5 + \xi_1 - 2\xi_2,\\[4pt] &F_E = 0 + \xi_2 - \xi_3 = \xi_2 - \xi_3. \end{aligned}
A soma total de mols na saída é
N \;=\; F_A+F_B+F_C+F_D+F_E \;=\; 65 - \xi_1 - 2\xi_2 - \xi_3,
porque a alimentação total inicial é 10+50+5=65 mol/s e cada reação muda o total conforme suas somas estequiométricas.
As medidas de composição dão:
\begin{aligned} &F_C=\xi_1 = 0{,}30\,N,\\[4pt] &F_A=10-\xi_1+\xi_3 = 0{,}20\,N,\\[4pt] &F_E=\xi_2-\xi_3 = 0{,}05\,N. \end{aligned}
Estas três equações relacionam \xi_1,\xi_2,\xi_3 e N.]

Passo 4

Resolver as equações algébricas passo a passo (isolando \xi em função de N e resolvendo N).
Da primeira equação:
\xi_1 = 0{,}30\,N.
Da segunda:
10 - \xi_1 + \xi_3 = 0{,}20\,N \quad\Rightarrow\quad \xi_3 = 0{,}20\,N -10 + \xi_1.
Substituindo \xi_1=0{,}30\,N:
\xi_3 = 0{,}20\,N -10 + 0{,}30\,N = 0{,}50\,N -10.
Da terceira:
\xi_2 - \xi_3 = 0{,}05\,N \quad\Rightarrow\quad \xi_2 = 0{,}05\,N + \xi_3.
Substituindo \xi_3:
\xi_2 = 0{,}05\,N + (0{,}50\,N -10) = 0{,}55\,N -10.
Agora usamos a expressão do total:
N = 65 - \xi_1 - 2\xi_2 - \xi_3.
Substituindo as expressões em função de N:
\begin{aligned} N &= 65 - 0{,}30\,N - 2(0{,}55\,N -10) - (0{,}50\,N -10)\\[4pt] &= 65 - 0{,}30\,N -1{,}10\,N +20 -0{,}50\,N +10\\[4pt] &= 95 - 1{,}90\,N. \end{aligned}
Passando todos os termos com N para o mesmo lado:
N + 1{,}90\,N = 95 \quad\Rightarrow\quad 2{,}90\,N = 95 \quad\Rightarrow\quad N = \frac{95}{2{,}9} \approx 32{,}7586207\\ \mathrm{mol/s}.]

Passo 5

Calcular as extensões e os fluxos numéricos (substituir N).
Extensões:
\begin{aligned} &\xi_1 = 0{,}30\,N \approx 0{,}30\cdot 32{,}7586207 \approx 9{,}8275862\\ \mathrm{mol/s},\\[4pt] &\xi_3 = 0{,}50\,N -10 \approx 0{,}50\cdot 32{,}7586207 -10 \approx 6{,}3793103\\ \mathrm{mol/s},\\[4pt] &\xi_2 = 0{,}55\,N -10 \approx 0{,}55\cdot 32{,}7586207 -10 \approx 8{,}0172414\\ \mathrm{mol/s}. \end{aligned}
Fluxos de saída:
\begin{aligned} &F_C=\xi_1 \approx 9{,}8275862,\\[4pt] &F_A=0{,}20\,N \approx 6{,}5517241,\\[4pt] &F_E=0{,}05\,N \approx 1{,}6379310. \end{aligned}
Para \mathrm{B} e \mathrm{D}:
\begin{aligned} &F_B = 50 - 2\xi_1 - \xi_2 - \xi_3 \approx 50 - 2\cdot 9{,}8275862 - 8{,}0172414 - 6{,}3793103 \\\ &\qquad\qquad\approx 15{,}9482769\\ \mathrm{mol/s},\\[4pt] &F_D = 5 + \xi_1 - 2\xi_2 \approx 5 + 9{,}8275862 - 2\cdot 8{,}0172414 \\\ &\qquad\qquad\approx -1{,}2068966\\ \mathrm{mol/s}. \end{aligned}
Observação: F_D calculado é negativo ( \approx -1{,}2068966\\ \mathrm{mol/s}), o que é fisicamente impossível (não podem sair números negativos de mol/s de uma espécie). Isso indica um problema de consistência nos dados (alimentações versus frações molares medidas).]

Passo 6

Cálculo das conversões (definição e valores numéricos), e discussão da validade física.
Definição de conversão (fração dos mols alimentados que reagiram):
\text{Conversão de }A:\quad X_A=\frac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}}.ã
Substituindo:
X_A=\frac{10 - 6{,}5517241}{10} \approx 0{,}3448276 \quad\Rightarrow\quad 34{,}48276\%.
Para B:
X_B=\frac{F_{B0}-F_B}{F_{B0}}=\frac{50 - 15{,}9482769}{50} \approx 0{,}6810345 \quad\Rightarrow\quad 68{,}10345\%.
Discussão da validade:
  • Embora as contas de balanço conduzam numericamente aos valores acima, o fato de F_D<0 mostra que os dados fornecidos (alimentações e frações molares de saída) são incompatíveis com as leis de conservação de massa: as reações exigiriam consumir mais \mathrm{D} do que existe (alimentação + produção interna), o que é impossível.
  • Portanto os números acima (em particular os fluxos e as conversões) não representam uma solução fisicamente admissível para o sistema com as alimentações dadas.

Passo 7

Interpretação final e sugestão prática (o que isso significa na hora da prova).
  • Conclusão prática: com as alimentações 10 A, 50 B e 5 D (mol/s) e com as frações molares de produto informadas ( 30\% C, 20\% A, 5\% E), as equações de balanço levam a um fluxo negativo de \mathrm{D}. Logo os dados são inconsistentes — não existe solução física.
  • Na prova: se chegar a um fluxo negativo verifique imediatamente se houve erro de leitura dos dados (alguma alimentação omitida, alguma fração molar referida a outra base, ou erro de digitação). Peça para revisar os dados (ou, se não for possível, explique na resposta que os dados levam a solução impossível e mostre o passo a passo como fiz aqui).

Resposta

Fluxos obtidos pelas equações de balanço (mas que levam a inconsistência física):
F_A \approx 6{,}551724\\ \mathrm{mol/s}
F_B \approx 15{,}948277\\ \mathrm{mol/s}
F_C \approx 9{,}827586\\ \mathrm{mol/s}
F_D \approx -1{,}206897\\ \mathrm{mol/s}
F_E \approx 1{,}637931\\ \mathrm{mol/s}
Conversões calculadas (a partir desses fluxos):
X_A \approx 34{,}48276\%
X_B \approx 68{,}10345\%
Observação final: como F_D<0 a solução é fisicamente impossível — os dados fornecidos (alimentações e frações molares de saída) são inconsistentes, portanto não existe solução física válida para os fluxos e conversões com os valores fornecidos.

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