Imaginemos a expansão reversível, adiabática, de 0,020 \mathrm{~mol} de Ar , inicialmente a 25^{\circ} \mathrm{C}, de 0,50 \mathrm{~L} até 1,00 \mathrm{~L}. A capacidade calorífica do argônio a volume constante é 12,48 \mathrm{JK}-1 \mathrm{~mol}-1, e então \mathrm{c}=1,501. Calcular o trabalho realizado:

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão reversível adiabática:
  • Quantidade de substância: n=0,020\\ \mathrm{mol}.
  • Temperatura inicial: T_1=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Volume inicial: V_1=0{,}50\\ \mathrm{L}=0{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
  • Volume final: V_2=1{,}00\\ \mathrm{L}=1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
  • Capacidade calorífica a volume constante: C_V=12{,}48\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Razão de calores (fornecida): \gamma = 1{,}501.
O que é pedido: calcular o trabalho W realizado pelo gás durante a expansão adiabática reversível V_1\to V_2.

Passo 2

Conceitos e fórmula chave (explicação didática curta):
  • “Adiabática reversível” significa que não há troca de calor com o ambiente: Q=0.
  • Primeira lei da termodinâmica: \Delta U = Q - W. Como Q=0, tem-se \Delta U = -W, ou seja o trabalho realizado pelo gás é W = -\Delta U.
  • Para um gás ideal, a variação de energia interna depende só da temperatura e vale \Delta U = n C_V (T_2-T_1). Substituindo em W=-\Delta U obtemos a fórmula prática muito útil:
W = n C_V (T_1 - T_2).
Explicando as variáveis: n é número de mols, C_V é capacidade molar a volume constante (J·K{-1}·mol{-1}), T_1 e T_2 são temperaturas inicial e final em kelvin. Essa fórmula dá o trabalho realizado pelo gás (positivo se T_1>T_2, como em uma expansão adiabática que resfria o gás).

Passo 3

Encontrar a temperatura final T_2 usando a relação adiabática reversible entre T e V:
Para um processo adiabático reversível de gás ideal vale a relação
T V^{\gamma-1}=\text{constante},
portanto
T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}.
Calculemos o expoente e a razão de volumes com os dados dados:
\gamma-1 = 1{,}501 - 1 = 0{,}501, \qquad \frac{V_1}{V_2}=\frac{0{,}50}{1{,}00}=0{,}5.
Agora
\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = (0{,}5)^{0{,}501}.
Para calcular isso usamos logaritmos:
\ln\!\big((0{,}5)^{0{,}501}\big)=0{,}501\ln(0{,}5)=0{,}501\cdot(-0{,}693147\ldots)=-0{,}3472667\ldots
Logo
(0{,}5)^{0{,}501}=\exp(-0{,}3472667\ldots)\approx0{,}7067.
Portanto
T_2 = 298{,}15\\ \mathrm{K}\times0{,}7067\approx210{,}8\\ \mathrm{K}.
(Interpretação curta: na expansão adiabática o gás se resfria; aqui a temperatura cai de 298{,}15\\ \mathrm{K} para cerca de 210{,}8\\ \mathrm{K}.)

Passo 4

Calcular o trabalho usando W = n C_V (T_1 - T_2).
Primeiro a diferença de temperaturas:
T_1-T_2 = 298{,}15 - 210{,}8 \approx 87{,}35\\ \mathrm{K}.
Agora multiplicamos:
W = 0{,}020\\ \mathrm{mol}\times 12{,}48\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}\times 87{,}35\\ \mathrm{K}.
Calcule passo a passo:
12{,}48\times87{,}35 \approx 1\,090{,}13\\ \mathrm{J\;mol^{-1}},
0{,}020\times1\,090{,}13 \approx 21{,}80\\ \mathrm{J}.
Interpretação do sinal: o valor é positivo, o que significa que o trabalho foi realizado pelo gás sobre o ambiente (expansão).

Passo 5

(Verificação rápida opcional) Podemos verificar por outra fórmula clássica para trabalho adiabático reversível:
W=\frac{P_1V_1-P_2V_2}{\gamma-1}.
Como P_iV_i=nRT_i, ao substituir obtemos exatamente W=nC_V(T_1-T_2), então os resultados são coerentes. A ordem de grandeza (~22 J) faz sentido para poucos mols e volumes pequenos.

Resposta

W \approx 21{,}8\\ \mathrm{J}

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