(IME) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função quadrática tal que f(x)=a x^{2}+b x+c, a \neq 0, para todo x real. Sabese que x_{1}=-1 e x_{2}=5 são as raízes e que f(1)= -8 , pede-se:
a) Determinar a, b e c.
b) Calcular f(0).
c) verificar se f(x) apresenta máximo ou mínimo, justificando a resposta.
d) As coordenadas do ponto extremo

Passo 1

O enunciado dá uma função quadrática f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} da forma f(x)=a x^{2}+b x+c com a\neq0. As informações fornecidas são:
  • As raízes são \,x_{1}=-1 e \,x_{2}=5.
  • f(1)=-8.
O que é pedido:
a) Determinar a,\;b e c.
b) Calcular f(0).
c) Verificar se f(x) apresenta máximo ou mínimo, justificando.
d) As coordenadas do ponto extremo.

Passo 2

Ideia para encontrar a,b,c (explicação didática): uma função quadrática com raízes x_{1} e x_{2} pode ser escrita como múltiplo do produto dos fatores lineares correspondentes. Ou seja, existe um número (o coeficiente principal) que aqui é a tal que
f(x)=a\,(x-x_{1})(x-x_{2}).
Isto ocorre porque as raízes anulam f e a única liberdade restante é o fator multiplicativo igual ao coeficiente de x^{2}. Como x_{1}=-1 e x_{2}=5, obtemos a forma fatorada imediatamente.

Passo 3

Escrever f(x) usando as raízes dadas:
f(x)=a\,(x+1)(x-5).
Agora usamos a informação f(1)=-8. Calcular f(1) na expressão fatorada:
f(1)=a\,(1+1)(1-5)=a\cdot 2\cdot(-4)=-8a.
Como f(1)=-8, temos a equação
-8a=-8.
Resolvendo,
a=1.

Passo 4

Com a=1 substituído, temos
f(x)=(x+1)(x-5).
Expandir essa multiplicação passo a passo:
(x+1)(x-5)=x\cdot x + x\cdot(-5) + 1\cdot x + 1\cdot(-5)=x^{2}-5x+x-5=x^{2}-4x-5.
Portanto, identificando coeficientes na forma f(x)=a x^{2}+b x+c, obtemos
a=1,\qquad b=-4,\qquad c=-5.

Passo 5

Resposta para a alínea (b): calcular f(0).
A forma geral dá f(0)=c. Usando c=-5,
f(0)=-5.

Passo 6

Verificação de máximo ou mínimo (explicação didática sobre concavidade):
Para uma parábola dada por f(x)=a x^{2}+b x+c, o sinal de a determina a concavidade:
  • Se a>0, a parábola “abre para cima” e o vértice é um ponto de mínimo.
  • Se a<0, a parábola “abre para baixo” e o vértice é um ponto de máximo.
Aqui encontramos a=1, que é positivo. Logo f(x) apresenta um mínimo. Outra justificativa (mais algébrica) é observar a segunda derivada: f''(x)=2a. Como 2a=2>0, a derivada segunda positiva indica mínimo.

Passo 7

Coordenadas do ponto extremo (vértice) — duas maneiras didáticas:
Método 1 (fórmula do vértice): a abscissa do vértice é
x_{v}=-\dfrac{b}{2a}.
Substituindo a=1 e b=-4,
x_{v}=-\dfrac{-4}{2\cdot 1}=\dfrac{4}{2}=2.
A ordenada é y_{v}=f(x_{v})=f(2). Calcular:
f(2)=2^{2}-4\cdot 2-5=4-8-5=-9.
Logo o vértice é (2,-9).
Método 2 (completar o quadrado, confirmação didática): escrever f(x) como quadrado perfeito mais constante:
f(x)=x^{2}-4x-5=(x^{2}-4x+4)-4-5=(x-2)^{2}-9.
Dessa forma fica claro que o menor valor de (x-2)^{2} é 0 (quando x=2), e então f atinge mínimo -9 em x=2. Portanto o ponto extremo é (2,-9), concordando com o método anterior.

Resposta

a) a=1,\; b=-4,\; c=-5
b) f(0)=-5
c) f(x) apresenta mínimo (pois a=1>0)
d) ponto extremo (2,-9)

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