(IME) Seja
uma função quadrática tal que
, para todo
real. Sabese que
e
são as raízes e que
-8 , pede-se:
a) Determinar
e
.
b) Calcular
.
c) verificar se
apresenta máximo ou mínimo, justificando a resposta.
d) As coordenadas do ponto extremo
a) Determinar
b) Calcular
c) verificar se
d) As coordenadas do ponto extremo
Passo 1
O enunciado dá uma função quadrática
da forma
com
. As informações fornecidas são:
- As raízes são
e . -
.
O que é pedido:
a) Determinar e
.
b) Calcular .
c) Verificar se apresenta máximo ou mínimo, justificando.
d) As coordenadas do ponto extremo.
a) Determinar
b) Calcular
c) Verificar se
d) As coordenadas do ponto extremo.
Passo 2
Ideia para encontrar
(explicação didática): uma função quadrática com raízes
e
pode ser escrita como múltiplo do produto dos fatores lineares correspondentes. Ou seja, existe um número (o coeficiente principal) que aqui é
tal que
Isto ocorre porque as raízes anulam
e a única liberdade restante é o fator multiplicativo igual ao coeficiente de
. Como
e
, obtemos a forma fatorada imediatamente.
Passo 3
Escrever
usando as raízes dadas:
Agora usamos a informação
. Calcular
na expressão fatorada:
Como
, temos a equação
Resolvendo,
Passo 4
Com
substituído, temos
Expandir essa multiplicação passo a passo:
Portanto, identificando coeficientes na forma
, obtemos
Passo 5
Resposta para a alínea (b): calcular
.
A forma geral dá . Usando
,
A forma geral dá
Passo 6
Verificação de máximo ou mínimo (explicação didática sobre concavidade):
Para uma parábola dada por , o sinal de
determina a concavidade:
Para uma parábola dada por
- Se
, a parábola “abre para cima” e o vértice é um ponto de mínimo. - Se
, a parábola “abre para baixo” e o vértice é um ponto de máximo.
Aqui encontramos
, que é positivo. Logo
apresenta um mínimo. Outra justificativa (mais algébrica) é observar a segunda derivada:
. Como
, a derivada segunda positiva indica mínimo.
Passo 7
Coordenadas do ponto extremo (vértice) — duas maneiras didáticas:
Método 1 (fórmula do vértice): a abscissa do vértice é
Substituindo
e
,
A ordenada é
. Calcular:
Logo o vértice é
.
Método 2 (completar o quadrado, confirmação didática): escrever
como quadrado perfeito mais constante:
Dessa forma fica claro que o menor valor de
é
(quando
), e então
atinge mínimo
em
. Portanto o ponto extremo é
, concordando com o método anterior.
Resposta
a)
b)
c) apresenta mínimo (pois
)
d) ponto extremo
b)
c)
d) ponto extremo