Verifique se os pontos dados abaixo são colineares:
A=(1,0,1), \quad B=(2,2,0) \quad e C=(0,-2,2);

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se os três pontos dados estão numa mesma reta (ou seja, se são colineares).
Dados fornecidos:
  • A=(1,0,1)
  • B=(2,2,0)
  • C=(0,-2,2)

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): uma maneira simples de testar colinearidade em 3D é usar vetores. Se os pontos A,B,C são colineares, então os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são paralelos — isto é, um é múltiplo escalar do outro.
Definição usada e fórmula:
  • Para dois pontos P=(x_P,y_P,z_P) e Q=(x_Q,y_Q,z_Q) o vetor \overrightarrow{PQ} é dado por
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P,\;z_Q-z_P).
  • Se existir um escalar t tal que \overrightarrow{AC}=t\,\overrightarrow{AB}, então A,B,C são colineares.

Passo 3

Calcular \overrightarrow{AB} usando a fórmula acima:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\;2-0,\;0-1)=(1,\;2,\;-1).

Passo 4

Calcular \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC}=C-A=(0-1,\;-2-0,\;2-1)=(-1,\;-2,\;1).

Passo 5

Verificar se \overrightarrow{AC} é múltiplo escalar de \overrightarrow{AB}. Observa-se que cada componente de \overrightarrow{AC} é o negativo da componente correspondente de \overrightarrow{AB}. Formalmente:
\overrightarrow{AC}=(-1,\;-2,\;1)=-1\cdot(1,\;2,\;-1)=-1\,\overrightarrow{AB}.
Portanto, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AB} são paralelos (são múltiplos escalares um do outro).

Passo 6

Interpretação geométrica e verificação direta: como \overrightarrow{AC}=-1\,\overrightarrow{AB}, isso significa que começando em A e andando -1 vezes o vetor \overrightarrow{AB} chega-se a C. Verificando:
A + (-1)\overrightarrow{AB} = (1,0,1) + (-1)\cdot(1,2,-1) = (1-1,\;0-2,\;1+1)=(0,-2,2)=C.
Isso confirma que C está na reta que passa por A e B.

Passo 7

Conclusão final (amigável): os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são colineares, logo os pontos A, B e C estão na mesma reta. Boa! Esse é o tipo de verificação rápida que cai fácil na prova: calcular os vetores entre um ponto comum e ver se um é múltiplo do outro.

Resposta

Sim. Os pontos A, B e C são colineares.

Exercícios relacionados