Verifique se os pontos dados abaixo são colineares: A=(1,0,1), \quad B=(2,2,0) \quad e C=(0,-2,2);
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se os três pontos dados estão numa mesma reta (ou seja, se são colineares).
Dados fornecidos:
A=(1,0,1)
B=(2,2,0)
C=(0,-2,2)
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): uma maneira simples de testar colinearidade em 3D é usar vetores. Se os pontos A,B,C são colineares, então os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são paralelos — isto é, um é múltiplo escalar do outro.
Definição usada e fórmula:
Para dois pontos P=(x_P,y_P,z_P) e Q=(x_Q,y_Q,z_Q) o vetor \overrightarrow{PQ} é dado por
Verificar se \overrightarrow{AC} é múltiplo escalar de \overrightarrow{AB}. Observa-se que cada componente de \overrightarrow{AC} é o negativo da componente correspondente de \overrightarrow{AB}. Formalmente:
Portanto, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AB} são paralelos (são múltiplos escalares um do outro).
Passo 6
Interpretação geométrica e verificação direta: como \overrightarrow{AC}=-1\,\overrightarrow{AB}, isso significa que começando em A e andando -1 vezes o vetor \overrightarrow{AB} chega-se a C. Verificando:
A + (-1)\overrightarrow{AB} = (1,0,1) + (-1)\cdot(1,2,-1) = (1-1,\;0-2,\;1+1)=(0,-2,2)=C.
Isso confirma que C está na reta que passa por A e B.
Passo 7
Conclusão final (amigável): os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são colineares, logo os pontos A, B e C estão na mesma reta. Boa! Esse é o tipo de verificação rápida que cai fácil na prova: calcular os vetores entre um ponto comum e ver se um é múltiplo do outro.