Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte: \left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 0 \\\\ -2 & 3 & -2 \\\\ 0 & -2 & 4\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede resolver f(x)=0 onde f(x)=\det(A-xI) e
Vou listar claramente o que temos e o que precisamos encontrar:
Temos a matriz A (acima).
A função característica é f(x)=\det(A-xI).
Precisamos encontrar todos os valores de x tais que f(x)=0 (essas são as raízes do polinômio característico; na linguagem linear, são os autovalores de A).
Passo 2
Escrevo explicitamente a matriz A-xI. Lembre que I é a matriz identidade 3\times3 e subtrair xI significa subtrair x nas entradas diagonais:
Para calcular f(x)=\det(A-xI) vou usar a expansão por cofatores na primeira linha, porque a entrada (1,3) é zero e isso simplifica contas. A fórmula da expansão por cofatores na primeira linha é:
Agora fatoro a quadrática x^{2}-9x+18. Procuro dois números cujo produto seja 18 e soma seja 9; esses números são 3 e 6. Logo
x^{2}-9x+18=(x-3)(x-6).
Portanto
f(x)=-x(x-3)(x-6).
Passo 8
As raízes de f(x)=0 são os valores de x que anulam cada fator. Assim as soluções são
x=0,\quad x=3,\quad x=6.
Interpretando: esses são os autovalores da matriz A. Dica para prova: ao ter uma matriz simétrica tridiagonal pequena, a expansão por cofatores em uma linha com zeros costuma ser a forma mais rápida de achar o polinômio característico.