Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte:
\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 0 \\\\ -2 & 3 & -2 \\\\ 0 & -2 & 4\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede resolver f(x)=0 onde f(x)=\det(A-xI) e
A=\begin{pmatrix}2 & -2 & 0 \\\\ -2 & 3 & -2 \\\\ 0 & -2 & 4\end{pmatrix}.
Vou listar claramente o que temos e o que precisamos encontrar:
  • Temos a matriz A (acima).
  • A função característica é f(x)=\det(A-xI).
  • Precisamos encontrar todos os valores de x tais que f(x)=0 (essas são as raízes do polinômio característico; na linguagem linear, são os autovalores de A).

Passo 2

Escrevo explicitamente a matriz A-xI. Lembre que I é a matriz identidade 3\times3 e subtrair xI significa subtrair x nas entradas diagonais:
A-xI= \begin{pmatrix} 2-x & -2 & 0\\[4pt] -2 & 3-x & -2\\[4pt] 0 & -2 & 4-x \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para calcular f(x)=\det(A-xI) vou usar a expansão por cofatores na primeira linha, porque a entrada (1,3) é zero e isso simplifica contas. A fórmula da expansão por cofatores na primeira linha é:
\det(A-xI)=(2-x)\,C_{11}+(-2)\,C_{12}+0\cdot C_{13},
onde C_{1j} é o cofator correspondente. Em prática isso fica:
\det(A-xI)=(2-x)\det\begin{pmatrix}3-x & -2\\[4pt]-2 & 4-x\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]0 & 4-x\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo o primeiro determinante menor:
\det\begin{pmatrix}3-x & -2\\[4pt]-2 & 4-x\end{pmatrix} =(3-x)(4-x)-(-2)(-2).
Faço as contas passo a passo:
(3-x)(4-x)=x^{2}-7x+12
e
(-2)(-2)=4,
portanto
\det\begin{pmatrix}3-x & -2\\[4pt]-2 & 4-x\end{pmatrix}=x^{2}-7x+12-4=x^{2}-7x+8.]

Passo 5

Calculo o segundo determinante menor:
\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]0 & 4-x\end{pmatrix}=(-2)(4-x)-0=-2(4-x)=-8+2x.
Lembre que esse termo entra na expansão com sinal -(-2)=+2, então a contribuição total desse cofator é
2\cdot(-8+2x)=-16+4x.]

Passo 6

Agora somo as contribuições para obter f(x):
f(x)=(2-x)(x^{2}-7x+8)+(-16+4x).
Faço a multiplicação e simplificação passo a passo:
(2-x)(x^{2}-7x+8)=2x^{2}-14x+16 - x^{3}+7x^{2}-8x = -x^{3}+9x^{2}-22x+16.
Somando o outro termo:
f(x)=-x^{3}+9x^{2}-22x+16-16+4x = -x^{3}+9x^{2}-18x.

Passo 7

Fatoro o polinômio para resolver f(x)=0. Primeiro fator comum:
f(x)=-x^{3}+9x^{2}-18x = -x\bigl(x^{2}-9x+18\bigr).
Agora fatoro a quadrática x^{2}-9x+18. Procuro dois números cujo produto seja 18 e soma seja 9; esses números são 3 e 6. Logo
x^{2}-9x+18=(x-3)(x-6).
Portanto
f(x)=-x(x-3)(x-6).

Passo 8

As raízes de f(x)=0 são os valores de x que anulam cada fator. Assim as soluções são
x=0,\quad x=3,\quad x=6.
Interpretando: esses são os autovalores da matriz A. Dica para prova: ao ter uma matriz simétrica tridiagonal pequena, a expansão por cofatores em uma linha com zeros costuma ser a forma mais rápida de achar o polinômio característico.

Resposta

x=0
x=3
x=6

Exercícios relacionados