Um imóvel é vendido nas seguintes condições de pagamento:
mais 04 pagamentos trimestrais de \ 5.000,00$ cada, vencendo o primeiro daqui a 120 dias;
Sendo de 1,8% a.m. a taxa corrente de juros de mercado, até que preço vale a pena pagar o imóvel a vista?

Passo 1

O enunciado informa que a venda será paga por meio de 4 pagamentos trimestrais de R\$\,5.000,00 cada, com o primeiro vencendo daqui a 120 dias. A taxa de juros de mercado é de 1{,}8\% ao mês. A pergunta é: até que preço (ou seja, qual valor à vista) vale a pena pagar o imóvel hoje, sabendo que eu posso descontar os pagamentos futuros à taxa de mercado? \n\nInformações relevantes extraídas do enunciado:\n\n- Número de pagamentos: 4.\n- Valor de cada pagamento: R\$\,5.000{,}00.\n- Intervalo entre pagamentos: 3 meses (trimestral), portanto os vencimentos, em meses contados a partir de hoje, são: 4, 7, 10 e 13 meses (porque o primeiro é em 120 dias \approx 4 meses e os seguintes de 3 em 3 meses).\n- Taxa nominal efetiva mensal: i_{m}=1{,}8\% ao mês, isto é i_{m}=0{,}018 em termos decimais.\n\nO que nos pedem: calcular o valor presente (hoje) desses quatro pagamentos descontados à taxa mensal i_{m}=0{,}018. Esse valor presente é o preço máximo que vale a pena pagar à vista (quem paga à vista não quer pagar mais que o valor presente dos recebíveis).

Passo 2

Conceito necessário (aula curta e prática): desconto de fluxos de caixa no regime de juros compostos.\n\nQuando temos um pagamento X que será feito daqui a n meses e a taxa efetiva mensal é i_{m}, o valor presente desse pagamento é dado por
\text{PV} = \frac{X}{(1+i_{m})^{n}}.
Aqui X é o valor do pagamento futuro, i_{m} é a taxa por mês (em decimal) e n é o número de meses até o pagamento. Isso vem da definição de juros compostos: o fator de acumulação de hoje até n meses é (1+i_{m})^{n}; para trazer para hoje dividimos pelo fator.
Aplicando ao nosso caso: cada pagamento é X=R\$\,5.000{,}00. A taxa mensal é i_{m}=0{,}018. Os pagamentos ocorrem em n=4,7,10,13 meses. Portanto o valor presente total PV é a soma dos valores presentes dos quatro pagamentos:
PV = 5.000\left[\frac{1}{(1+0{,}018)^{4}}+\frac{1}{(1+0{,}018)^{7}}+\frac{1}{(1+0{,}018)^{10}}+\frac{1}{(1+0{,}018)^{13}}\right].

Passo 3

Podemos simplificar a soma usando a notação v=\dfrac{1}{1+0{,}018} (fator de desconto mensal). Então cada termo é v^{n} com n em meses. Assim:
PV = 5.000\bigl(v^{4}+v^{7}+v^{10}+v^{13}\bigr).
Note que \{4,7,10,13\} formam uma progressão aritmética com razão 3. Então podemos fatorar v^{4}:
PV = 5.000\,v^{4}\bigl(1+v^{3}+v^{6}+v^{9}\bigr).
A soma geométrica interna é uma PG finita com razão v^{3}, então
1+v^{3}+v^{6}+v^{9}=\frac{1-v^{12}}{1-v^{3}}.
Logo
PV = 5.000\,v^{4}\cdot\frac{1-v^{12}}{1-v^{3}}.
Isto permite calcular de forma compacta com menos erros de arredondamento.

Passo 4

Vamos calcular numericamente passo a passo.\n\nPrimeiro calcule v:
v=\frac{1}{1+0{,}018}=\frac{1}{1{,}018}\approx 0{,}982297.
Agora v^{3}:
v^{3}\approx(0{,}982297)^{3}\approx 0{,}947878.
Então v^{4}=v^{3}\cdot v:
v^{4}\approx 0{,}947878\cdot 0{,}982297\approx 0{,}931160.
Em seguida v^{12}=(v^{3})^{4}:
v^{12}\approx(0{,}947878)^{4}\approx 0{,}807319.
Agora a fração geométrica:
\frac{1-v^{12}}{1-v^{3}}=\frac{1-0{,}807319}{1-0{,}947878}=\frac{0{,}192681}{0{,}052122}\approx 3{,}6970.
Multiplicando tudo:
v^{4}\cdot\frac{1-v^{12}}{1-v^{3}}\approx 0{,}931160\times 3{,}6970\approx 3{,}44478.
Finalmente:
PV=5.000\times 3{,}44478\approx R\$\,17.223{,}90.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova: o valor presente PV calculado é o máximo que vale a pena pagar hoje pelo imóvel, porque pagar esse valor à vista ou aceitar os quatro pagamentos é economicamente equivalente à taxa de mercado dada. Se você pagar um pouco mais que esse PV, aceitando pagar à vista fica pior do que receber os pagamentos descontados à taxa de mercado; se pagar menos, compensa pagar à vista. Na prova, mostre o estabelecimento do somatório de descontos e, se quiser simplificar, utilize a fatoração por v^{4} e a soma de PG como eu fiz.\n\nPequena motivação: já pensou que com esse raciocínio você transforma qualquer parcelamento estranho em um preço “comparable” à vista? É isso que o mercado financeiro faz.

Resposta

R\$\,17.223,90

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