Um imóvel é vendido nas seguintes condições de pagamento:
mais 04 pagamentos trimestrais de
5.000,00$ cada, vencendo o primeiro daqui a 120 dias;
Sendo de 1,8% a.m. a taxa corrente de juros de mercado, até que preço vale a pena pagar o imóvel a vista?
mais 04 pagamentos trimestrais de
Sendo de 1,8% a.m. a taxa corrente de juros de mercado, até que preço vale a pena pagar o imóvel a vista?
Passo 1
O enunciado informa que a venda será paga por meio de
pagamentos trimestrais de
cada, com o primeiro vencendo daqui a
dias. A taxa de juros de mercado é de
ao mês. A pergunta é: até que preço (ou seja, qual valor à vista) vale a pena pagar o imóvel hoje, sabendo que eu posso descontar os pagamentos futuros à taxa de mercado? \n\nInformações relevantes extraídas do enunciado:\n\n- Número de pagamentos:
.\n- Valor de cada pagamento:
.\n- Intervalo entre pagamentos:
meses (trimestral), portanto os vencimentos, em meses contados a partir de hoje, são:
,
,
e
meses (porque o primeiro é em
dias
meses e os seguintes de 3 em 3 meses).\n- Taxa nominal efetiva mensal:
ao mês, isto é
em termos decimais.\n\nO que nos pedem: calcular o valor presente (hoje) desses quatro pagamentos descontados à taxa mensal
. Esse valor presente é o preço máximo que vale a pena pagar à vista (quem paga à vista não quer pagar mais que o valor presente dos recebíveis).
Passo 2
Conceito necessário (aula curta e prática): desconto de fluxos de caixa no regime de juros compostos.\n\nQuando temos um pagamento
que será feito daqui a
meses e a taxa efetiva mensal é
, o valor presente desse pagamento é dado por
Aqui
é o valor do pagamento futuro,
é a taxa por mês (em decimal) e
é o número de meses até o pagamento. Isso vem da definição de juros compostos: o fator de acumulação de hoje até
meses é
; para trazer para hoje dividimos pelo fator.
Aplicando ao nosso caso: cada pagamento é
. A taxa mensal é
. Os pagamentos ocorrem em
meses. Portanto o valor presente total
é a soma dos valores presentes dos quatro pagamentos:
Passo 3
Podemos simplificar a soma usando a notação
(fator de desconto mensal). Então cada termo é
com
em meses. Assim:
Note que
formam uma progressão aritmética com razão
. Então podemos fatorar
:
A soma geométrica interna é uma PG finita com razão
, então
Logo
Isto permite calcular de forma compacta com menos erros de arredondamento.
Passo 4
Vamos calcular numericamente passo a passo.\n\nPrimeiro calcule
:
Agora
:
Então
:
Em seguida
:
Agora a fração geométrica:
Multiplicando tudo:
Finalmente:
Passo 5
Interpretação final e dica para a prova: o valor presente
calculado é o máximo que vale a pena pagar hoje pelo imóvel, porque pagar esse valor à vista ou aceitar os quatro pagamentos é economicamente equivalente à taxa de mercado dada. Se você pagar um pouco mais que esse
, aceitando pagar à vista fica pior do que receber os pagamentos descontados à taxa de mercado; se pagar menos, compensa pagar à vista. Na prova, mostre o estabelecimento do somatório de descontos e, se quiser simplificar, utilize a fatoração por
e a soma de PG como eu fiz.\n\nPequena motivação: já pensou que com esse raciocínio você transforma qualquer parcelamento estranho em um preço “comparable” à vista? É isso que o mercado financeiro faz.