3 impedâncias iguais de 15,9 \mathrm{~L} 70^{\circ} \Omega são ligadas em \Delta a um sistema CBA 3 \varphi, a 3 condutores, 100 V . Determinar as correntes de linha e a potência total.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
Três impedâncias idênticas ligadas em \Delta (delta) com valor \;Z=15,9\angle 70^\circ\\ \Omega.
Rede trifásica a 3 condutores (três fios), tensão indicada \;100\\ \mathrm{V}. (Aqui vamos interpretar que \;100\\ \mathrm{V} é a tensão entre linhas, isto é, tensão de linha \;V_L=100\\ \mathrm{V}.)
Pedidos: determinar as correntes de linha e a potência total absorvida pela carga.
Passo 2
Entendendo o que acontece numa ligação em \Delta:
Em uma ligação em \Delta, cada impedância está ligada entre duas linhas; portanto a tensão sobre cada impedância (tensão de fase da carga) é a tensão de linha:
V_{ph}=V_L=100\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}
(escolhi referência de fase com uma das tensões de linha \;100\angle 0^\circ).
A corrente em cada ramo (corrente de fase da carga, \underline{I}_{ph}) é obtida pela divisão fasorial:
Vou explicar a fórmula: dividimos o fasor tensão pelo fasor impedância; o módulo resulta da divisão dos módulos e o ângulo é a diferença dos ângulos (ângulo tensão menos ângulo impedância).
Passo 3
Calculemos a corrente de fase (em cada impedância):
Explicação curta: módulo 100/15,9 e ângulo 0-70=-70^\circ.
Passo 4
Relação entre corrente de fase (ramo \Delta) e corrente de linha:
Num \Delta, a corrente de uma linha é a soma (ou diferença, dependendo orientação) de duas correntes de ramo. Para uma carga equilibrada isso resulta na relação conhecida:
Vou derivar rapidamente essa relação para você entender a origem (sem pular etapas):
Tome as correntes de ramo como \underline{I}_{ab}=\underline{I}_{ph}, \underline{I}_{bc}=\underline{I}_{ph}\angle -120^\circ, \underline{I}_{ca}=\underline{I}_{ph}\angle +120^\circ.
A corrente de linha a vale \underline{I}_a=\underline{I}_{ab}-\underline{I}_{ca}.
onde (\cdot)^* indica o conjugado complexo. Explico: multiplicamos a tensão pela conjugado da corrente para obter a potência complexa cuja parte real é potência ativa P e parte imaginária é potência reativa Q.
Usando \underline{V}_{ph}=100\angle 0^\circ e \underline{I}_{ph}\approx 6,289\angle -70^\circ, o conjugado é 6,289\angle +70^\circ. Então