3 impedâncias iguais de 15,9 \mathrm{~L} 70^{\circ} \Omega são ligadas em \Delta a um sistema CBA 3 \varphi, a 3 condutores, 100 V . Determinar as correntes de linha e a potência total.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
  • Três impedâncias idênticas ligadas em \Delta (delta) com valor \;Z=15,9\angle 70^\circ\\ \Omega.
  • Rede trifásica a 3 condutores (três fios), tensão indicada \;100\\ \mathrm{V}. (Aqui vamos interpretar que \;100\\ \mathrm{V} é a tensão entre linhas, isto é, tensão de linha \;V_L=100\\ \mathrm{V}.)
  • Pedidos: determinar as correntes de linha e a potência total absorvida pela carga.

Passo 2

Entendendo o que acontece numa ligação em \Delta:
  • Em uma ligação em \Delta, cada impedância está ligada entre duas linhas; portanto a tensão sobre cada impedância (tensão de fase da carga) é a tensão de linha:
V_{ph}=V_L=100\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}
(escolhi referência de fase com uma das tensões de linha \;100\angle 0^\circ).
  • A corrente em cada ramo (corrente de fase da carga, \underline{I}_{ph}) é obtida pela divisão fasorial:
\underline{I}_{ph}=\frac{\underline{V}_{ph}}{\underline{Z}}.
Vou explicar a fórmula: dividimos o fasor tensão pelo fasor impedância; o módulo resulta da divisão dos módulos e o ângulo é a diferença dos ângulos (ângulo tensão menos ângulo impedância).

Passo 3

Calculemos a corrente de fase (em cada impedância):
\underline{I}_{ph}=\frac{100\angle 0^\circ}{15,9\angle 70^\circ} =\frac{100}{15,9}\angle(0^\circ-70^\circ).
Agora os números:
\frac{100}{15,9}\approx 6,289
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\underline{I}_{ph}\approx 6,289\angle -70^\circ\\ \mathrm{A}.
Explicação curta: módulo 100/15,9 e ângulo 0-70=-70^\circ.

Passo 4

Relação entre corrente de fase (ramo \Delta) e corrente de linha:
  • Num \Delta, a corrente de uma linha é a soma (ou diferença, dependendo orientação) de duas correntes de ramo. Para uma carga equilibrada isso resulta na relação conhecida:
\underline{I}_L=\sqrt{3}\,\underline{I}_{ph}\angle -30^\circ.
Vou derivar rapidamente essa relação para você entender a origem (sem pular etapas):
  • Tome as correntes de ramo como \underline{I}_{ab}=\underline{I}_{ph}, \underline{I}_{bc}=\underline{I}_{ph}\angle -120^\circ, \underline{I}_{ca}=\underline{I}_{ph}\angle +120^\circ.
  • A corrente de linha a vale \underline{I}_a=\underline{I}_{ab}-\underline{I}_{ca}.
  • Escrevendo \underline{I}_a=\underline{I}_{ph}\big(1 - e^{j120^\circ}\big). Calculamos
1-e^{j120^\circ}= \sqrt{3}\angle -30^\circ,
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\underline{I}_a=\sqrt{3}\,\underline{I}_{ph}\angle -30^\circ.
  • Conclusão: em magnitude |I_L|=\sqrt{3}\,|I_{ph}| e o ângulo da corrente de linha é o ângulo da corrente de fase menos 30^\circ.

Passo 5

Aplicando a relação numérica para obter a corrente de linha:
  • Módulo:
|I_L|=\sqrt{3}\cdot 6,289 \approx 1,732\cdot 6,289 \approx 10,895 \approx 10,90\\ \mathrm{A}.
  • Ângulo:
\angle I_L = \angle I_{ph} - 30^\circ = -70^\circ - 30^\circ = -100^\circ.
Portanto uma das correntes de linha é
\underline{I}_A \approx 10,90\angle -100^\circ\\ \mathrm{A}.
Como a carga é equilibrada, as outras duas correntes de linha têm o mesmo módulo e defasamento de 120^\circ entre si:
\underline{I}_B=\underline{I}_A\angle -120^\circ,\qquad \underline{I}_C=\underline{I}_A\angle +120^\circ.

Passo 6

Escrevendo explicitamente as três correntes de linha (colocando os ângulos dentro de (-180^\circ,180^\circ] para ficar mais legível):
\underline{I}_A\approx 10,90\angle -100^\circ\\ \mathrm{A},
\underline{I}_B\approx 10,90\angle -220^\circ \equiv 10,90\angle 140^\circ\\ \mathrm{A},
\underline{I}_C\approx 10,90\angle 20^\circ\\ \mathrm{A}.
Observação: ângulos são equivalentes módulo 360^\circ; escolhi apresentar uma forma e a forma equivalente para \underline{I}_B.

Passo 7

Agora vamos calcular a potência total absorvida pela carga. Vou usar a fórmula por fase e somar as três fases, que é direta e didática:
  • Potência complexa de uma fase (ramo) é
\underline{S}_{ph}=\underline{V}_{ph}\,\underline{I}_{ph}^*,
onde (\cdot)^* indica o conjugado complexo. Explico: multiplicamos a tensão pela conjugado da corrente para obter a potência complexa cuja parte real é potência ativa P e parte imaginária é potência reativa Q.
  • Usando \underline{V}_{ph}=100\angle 0^\circ e \underline{I}_{ph}\approx 6,289\angle -70^\circ, o conjugado é 6,289\angle +70^\circ. Então
\underline{S}_{ph}=100\angle 0^\circ \cdot 6,289\angle +70^\circ = 628,9\angle 70^\circ\\ \mathrm{VA}.
  • Potência total (três fases iguais):
\underline{S}_{tot}=3\underline{S}_{ph}=3\cdot 628,9\angle 70^\circ =1886,7\angle 70^\circ\\ \mathrm{VA}.

Passo 8

Separando em P e Q (forma retangular):
  • Módulo |\underline{S}_{tot}|=1886,7\\ \mathrm{VA}.
  • Componente ativa:
P=|\underline{S}_{tot}|\cos 70^\circ =1886,7\cdot \cos 70^\circ.
Como \cos 70^\circ\approx 0,34202,
P\approx 1886,7\cdot 0,34202 \approx 645,1\\ \mathrm{W}.
  • Componente reativa:
Q=|\underline{S}_{tot}|\sin 70^\circ =1886,7\cdot \sin 70^\circ.
Como \sin 70^\circ\approx 0,93969,
Q\approx 1886,7\cdot 0,93969 \approx 1772,7\\ \mathrm{var}.
O sinal positivo de Q indica carga indutiva (correntes atrasam a tensão).

Resposta

\underline{I}_A\approx 10,90\angle -100^\circ\\ \mathrm{A},\\ \underline{I}_B\approx 10,90\angle 140^\circ\\ \mathrm{A},\\ \underline{I}_C\approx 10,90\angle 20^\circ\\ \mathrm{A}\n
\displaystyle \underline{S}_{tot}\approx 1886,7\angle 70^\circ\\ \mathrm{VA}=645,1 + j\,1772,7\\ \mathrm{W\!/var}

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