Qual implicação terá no cálculo de um tamanho mínimo de amostra aumentar o tamanho da população? E aumentar o erro tolerado? E reduzir o grau de confiança? E aplicar a pesquisa em um estrato mais homogêneo da população?

Passo 1

O enunciado pergunta como cada um desses fatores afeta o tamanho mínimo de amostra em amostragem estatística:
  • aumento do tamanho da população N,
  • aumento do erro tolerado E,
  • redução do grau de confiança (e, portanto, do valor crítico Z),
  • e aplicação da pesquisa num estrato mais homogêneo (menor variabilidade).
    O conteúdo envolvido é o cálculo de amostra para proporções (ou médias) com correção para população finita.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula usual para tamanho de amostra em proporções com correção para população finita. Chamando \displaystyle Z o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança, \displaystyle p a proporção estimada (quando não se sabe, usa-se p=0{,}5 para máxima variância), \displaystyle E o erro máximo tolerado, \displaystyle N o tamanho da população,
a amostra sem correção é
n_0 \;=\;\frac{Z^2\,p(1-p)}{E^2}\,,
e com a correção finita fica
n \;=\;\frac{n_0}{1 + \dfrac{n_0 - 1}{N}}\,.

Passo 3

Efeito de aumentar N:
  • No numerador de n temos n_0, que independe de N.
  • No denominador, o termo \tfrac{n_0-1}{N} fica menor quando N cresce, então
n \;\to\; \frac{n_0}{1+0} \;=\; n_0
para populações muito grandes.
Logo, aumentar N faz o tamanho da amostra crescer levemente (pela correção finita), mas depois estabiliza em n_0.

Passo 4

Efeito de aumentar o erro tolerado E:
  • Como n_0\propto 1/E^2, se E aumenta, n_0 cai em proporção a 1/E^2.
  • Consequentemente, o n resultante também diminui.
    Em outras palavras, permitindo maior imprecisão, precisamos de menos observações.

Passo 5

Efeito de reduzir o grau de confiança:
  • Reduzir o grau de confiança significa usar um Z menor.
  • Na fórmula n_0=Z^2p(1-p)/E^2, n_0 varia como Z^2.
  • Assim, quanto menor Z, menor n_0 e, depois, menor n.
    Baixando a confiança, reduzimos o tamanho necessário de amostra.

Passo 6

Efeito de pesquisar num estrato mais homogêneo:
  • Homogeneidade implica menor variabilidade interna, isto é, menor p(1-p) (ou, no caso de média, menor \sigma^2).
  • Como n_0\propto p(1-p), uma variância menor leva a n_0 menor e, portanto, a n menor.
    Logo, estratos mais homogêneos requerem menos amostras para a mesma precisão.

Resposta

Aumentar o tamanho da população N → o tamanho da amostra n cresce um pouco (pela correção finita), mas logo se estabiliza em n_0.
Aumentar o erro tolerado E → diminui fortemente n n\propto1/E^2.
Reduzir o grau de confiança → diminui Z, portanto diminui n n\propto Z^2.
Aplicar em estrato mais homogêneo → reduz variabilidade p(1-p) ou \sigma^2, logo diminui n.

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