Implicitamente, derivar a função para encontrar y^{\prime} :
\ln (x+y)=x

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
\ln(x+y)=x
e pede para encontrar a derivada y' (ou seja, \dfrac{dy}{dx}). Informações relevantes que temos:
  • A variável x é a variável independente.
  • A variável y depende de x (ou seja, y=y(x)); por isso usamos derivação implícita.
  • Queremos expressar y' em função de x e y.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (mini-aula):
  • Derivada da função logarítmica composta: se u=u(x) é uma função diferenciável, então
\frac{d}{dx}\big(\ln u\big)=\frac{u'}{u}.
Aqui u' significa \dfrac{du}{dx}. Essa fórmula vem da regra da cadeia: derivamos a função externa \ln(\cdot) (que dá 1/u) e multiplicamos pela derivada da função interna u(x).
  • Regra da soma e da derivada de y(x): ao derivar uma soma envolvendo y, usamos que
\frac{d}{dx}\big(x+y(x)\big)=\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dx}y(x)=1+y'.
Ou seja, \dfrac{d}{dx}x=1 e \dfrac{d}{dx}y(x)=y'.
  • Objetivo prático: aplicar a derivada em ambos os lados da igualdade, usando as fórmulas acima, e então resolver a equação resultante para y'.

Passo 3

Aplicando a derivada em ambos os lados da equação \ln(x+y)=x:
  • No lado esquerdo, a parte interna é u(x)=x+y(x). Pela fórmula do log composto,
\frac{d}{dx}\big(\ln(x+y)\big)=\frac{(x+y)'}{x+y}.
  • (x+y)'=1+y'. Logo o lado esquerdo vira
\frac{1+y'}{x+y}.
  • No lado direito, \dfrac{d}{dx}x=1.
Portanto, ao derivar os dois lados obtemos a equação
\frac{1+y'}{x+y}=1.

Passo 4

Agora isolamos y'. Multiplicamos ambos os lados por (x+y):
1+y'=(x+y)\cdot 1=x+y.

Passo 5

Subtraímos 1 de ambos os lados para deixar y' sozinho:
y' = x+y-1.
Pronto — essa é a expressão de \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Resposta

y' = x + y - 1

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