Implicitamente, derivar a função para encontrar
:
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para encontrar a derivada
(ou seja,
). Informações relevantes que temos:
- A variável
é a variável independente. - A variável
depende de (ou seja, ); por isso usamos derivação implícita. - Queremos expressar
em função de e .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (mini-aula):
- Derivada da função logarítmica composta: se
é uma função diferenciável, então
Aqui
significa
. Essa fórmula vem da regra da cadeia: derivamos a função externa
(que dá
) e multiplicamos pela derivada da função interna
.
- Regra da soma e da derivada de
: ao derivar uma soma envolvendo , usamos que
Ou seja,
e
.
- Objetivo prático: aplicar a derivada em ambos os lados da igualdade, usando as fórmulas acima, e então resolver a equação resultante para
.
Passo 3
Aplicando a derivada em ambos os lados da equação
:
- No lado esquerdo, a parte interna é
. Pela fórmula do log composto,
- Já
. Logo o lado esquerdo vira
- No lado direito,
.
Portanto, ao derivar os dois lados obtemos a equação
Passo 4
Agora isolamos
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 5
Subtraímos
de ambos os lados para deixar
sozinho:
Pronto — essa é a expressão de
em termos de
e
.