Derive implicitamente à seguinte função para encontrar d x / d y :
3 x^{2} y=4 x+3

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
3 x^{2} y = 4 x + 3
e pede para encontrar \dfrac{d x}{d y}. Informações relevantes:
  • A equação relaciona x e y de forma implícita (ou seja, x depende de y, mas a relação não está isolada como x=\dots).
  • Queremos a derivada de x em relação a y, isto é \dfrac{d x}{d y}.
  • Todas as variáveis e constantes presentes na equação serão usadas na diferenciação.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): para obter \dfrac{d x}{d y} em uma equação implícita, diferenciamos ambos os lados em relação a y, tratando x como função de y. Isso gera termos com \dfrac{d x}{d y} via regra da cadeia. Lembretes de regras que usaremos:
  • Regra do produto: para u(y)v(y),
\frac{d}{d y}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
  • Regra da cadeia: se x é função de y, então
\frac{d}{d y}x = \frac{d x}{d y},\qquad \frac{d}{d y}x^{2}=2x\frac{d x}{d y}.
Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Diferenciando o lado esquerdo \,3x^{2}y, em relação a y. Trate como constante multiplicativa 3 vezes o produto x^{2}\cdot y:
\frac{d}{d y}\big(3x^{2}y\big)=3\frac{d}{d y}\big(x^{2}y\big).
Agora aplique a regra do produto com u=x^{2} e v=y:
\frac{d}{d y}\big(x^{2}y\big)=\frac{d}{d y}(x^{2})\cdot y + x^{2}\cdot\frac{d}{d y}(y).
Usando a regra da cadeia e que \dfrac{d}{d y}y=1,
\frac{d}{d y}(x^{2})=2x\frac{d x}{d y},
portanto
\frac{d}{d y}\big(x^{2}y\big)=2x\frac{d x}{d y}\cdot y + x^{2}\cdot 1 = 2xy\frac{d x}{d y}+x^{2}.
Multiplicando pelo 3 inicial:
\frac{d}{d y}\big(3x^{2}y\big)=3\big(2xy\frac{d x}{d y}+x^{2}\big)=6xy\frac{d x}{d y}+3x^{2}.

Passo 4

Diferenciando o lado direito \,4x+3, em relação a y. A constante 3 some e 4x gera 4 vezes \dfrac{d x}{d y}:
\frac{d}{d y}\big(4x+3\big)=4\frac{d x}{d y}+0=4\frac{d x}{d y}.

Passo 5

Agora igualamos as derivadas dos dois lados (porque diferenciamos a igualdade original):
6xy\frac{d x}{d y}+3x^{2}=4\frac{d x}{d y}.
Isolamos os termos que contêm \dfrac{d x}{d y}: subtraia 4\dfrac{d x}{d y} dos dois lados:
6xy\frac{d x}{d y}-4\frac{d x}{d y} = -3x^{2}.
Fatore \dfrac{d x}{d y}:
\big(6xy-4\big)\frac{d x}{d y} = -3x^{2}.

Passo 6

Finalmente, dividimos ambos os lados por \,6xy-4, para isolar \dfrac{d x}{d y}:
\frac{d x}{d y}=\frac{-3x^{2}}{6xy-4}.
Podemos simplificar o sinal multiplicando numerador e denominador por -1 para ficar mais agradável:
\frac{d x}{d y}=\frac{3x^{2}}{4-6xy}.

Resposta

\displaystyle \frac{d x}{d y}=\frac{3x^{2}}{4-6xy}

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