Derive implicitamente à seguinte função para encontrar
:
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede para encontrar
. Informações relevantes:
- A equação relaciona
e de forma implícita (ou seja, depende de , mas a relação não está isolada como ). - Queremos a derivada de
em relação a , isto é . - Todas as variáveis e constantes presentes na equação serão usadas na diferenciação.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): para obter
em uma equação implícita, diferenciamos ambos os lados em relação a
, tratando
como função de
. Isso gera termos com
via regra da cadeia. Lembretes de regras que usaremos:
- Regra do produto: para
,
- Regra da cadeia: se
é função de , então
Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Diferenciando o lado esquerdo
, em relação a
. Trate como constante multiplicativa
vezes o produto
:
Agora aplique a regra do produto com
e
:
Usando a regra da cadeia e que
,
portanto
Multiplicando pelo
inicial:
Passo 4
Diferenciando o lado direito
, em relação a
. A constante
some e
gera
vezes
:
Passo 5
Agora igualamos as derivadas dos dois lados (porque diferenciamos a igualdade original):
Isolamos os termos que contêm
: subtraia
dos dois lados:
Fatore
:
Passo 6
Finalmente, dividimos ambos os lados por
, para isolar
:
Podemos simplificar o sinal multiplicando numerador e denominador por
para ficar mais agradável: