Um importante tipo de transformação linear são as reflexões em torno de eixos ou retas. Determine a imagem do ponto P = (1, –1) pela reflexão em torno da reta diagonal do plano.
a. (1, –1)
b. (0, 1)
c. (1, 1)
d. (1, 2)
e. (–1, 1)
a. (1, –1)
b. (0, 1)
c. (1, 1)
d. (1, 2)
e. (–1, 1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre transformação linear, especificamente reflexões em retas no plano. A gente precisa descobrir para onde o ponto $ P = (1, -1) $ vai quando refletido em torno da reta diagonal do plano. Pra isso, vamos usar conceitos de reflexões geométricas e coordenadas.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que é uma reflexão em torno de uma reta. Imagina que a reta é um espelho e o ponto $ P $ é a imagem que queremos refletir. A imagem refletida, que vamos chamar de $ P’ $, será o ponto simétrico de $ P $ em relação a essa reta.
Passo 3
A reta diagonal do plano geralmente se refere à reta $ y = x $. Essa reta faz um ângulo de 45 graus com os eixos e é simétrica, o que facilita a reflexão. Então, vamos assumir que a reflexão é em torno da reta $ y = x $.
Passo 4
Para refletir um ponto em torno da reta $ y = x $, a regra é simples: basta trocar as coordenadas $ x $ e $ y $ do ponto original. Ou seja, se o ponto original é $ (a, b) $, a imagem refletida será $ (b, a) $.
Passo 5
Aplicando essa regra no ponto $ P = (1, -1) $, trocamos as coordenadas:
Então, a imagem refletida de $ (1, -1) $ em torno da reta $ y = x $ é $ (-1, 1) $.
Resposta
A imagem do ponto $ P = (1, -1) $ pela reflexão em torno da reta diagonal do plano é $ (-1, 1) $. Portanto, a resposta correta é a opção e. (–1, 1).