Um importante tipo de transformação linear são as reflexões em torno de eixos ou retas. Determine a imagem do ponto P = (1, –1) pela reflexão em torno da reta diagonal do plano.
a. (1, –1)
b. (0, 1)
c. (1, 1)
d. (1, 2)
e. (–1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre transformação linear, especificamente reflexões em retas no plano. A gente precisa descobrir para onde o ponto $ P = (1, -1) $ vai quando refletido em torno da reta diagonal do plano. Pra isso, vamos usar conceitos de reflexões geométricas e coordenadas.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que é uma reflexão em torno de uma reta. Imagina que a reta é um espelho e o ponto $ P $ é a imagem que queremos refletir. A imagem refletida, que vamos chamar de $ P’ $, será o ponto simétrico de $ P $ em relação a essa reta.

Passo 3

A reta diagonal do plano geralmente se refere à reta $ y = x $. Essa reta faz um ângulo de 45 graus com os eixos e é simétrica, o que facilita a reflexão. Então, vamos assumir que a reflexão é em torno da reta $ y = x $.

Passo 4

Para refletir um ponto em torno da reta $ y = x $, a regra é simples: basta trocar as coordenadas $ x $ e $ y $ do ponto original. Ou seja, se o ponto original é $ (a, b) $, a imagem refletida será $ (b, a) $.

Passo 5

Aplicando essa regra no ponto $ P = (1, -1) $, trocamos as coordenadas:
P = (1, -1)
Então, a imagem refletida de $ (1, -1) $ em torno da reta $ y = x $ é $ (-1, 1) $.

Resposta

A imagem do ponto $ P = (1, -1) $ pela reflexão em torno da reta diagonal do plano é $ (-1, 1) $. Portanto, a resposta correta é a opção e. (–1, 1).

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