Dizemos que um conjunto A de pontos do plano é convexo se, dados dois pontos
distintos P, Q ∈ A, o segmento de reta PQ está totalmente contido em A.
Prove que a interseção de dois conjuntos convexos também é um conjunto convexo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a interseção de dois conjuntos convexos também é convexo. Aqui estamos trabalhando com geometria, especificamente com o conceito de conjuntos convexos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto convexo e como funciona a interseção de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto $ A $ no plano é convexo se, para quaisquer dois pontos distintos $ P $ e $ Q $ em $ A $, o segmento de reta que liga $ P $ e $ Q $ está totalmente dentro de $ A $. Em outras palavras, se você desenhar uma linha reta entre dois pontos dentro do conjunto, essa linha não sai do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos considerar dois conjuntos convexos, digamos $ C_1 $ e $ C_2 $. Queremos provar que a interseção desses dois conjuntos, representada por $ C_1 \cap C_2 $, também é um conjunto convexo.

Passo 4

Para provar isso, vamos pegar quaisquer dois pontos $ P $ e $ Q $ que estão na interseção $ C_1 \cap C_2 $. Isso significa que $ P $ e $ Q $ estão ambos em $ C_1 $ e em $ C_2 $.

Passo 5

Como $ C_1 $ é convexo, o segmento de reta $ PQ $ está totalmente contido em $ C_1 $. Da mesma forma, como $ C_2 $ também é convexo, o mesmo segmento de reta $ PQ $ está totalmente contido em $ C_2 $.

Passo 6

Se o segmento $ PQ $ está em $ C_1 $ e também está em $ C_2 $, então ele está na interseção $ C_1 \cap C_2 $. Ou seja, $ PQ \subseteq C_1 \cap C_2 $.

Passo 7

Como escolhemos quaisquer dois pontos $ P $ e $ Q $ na interseção e mostramos que o segmento $ PQ $ também está na interseção, isso significa que a interseção $ C_1 \cap C_2 $ satisfaz a definição de um conjunto convexo.

Resposta

Portanto, provamos que a interseção de dois conjuntos convexos $ C_1 $ e $ C_2 $ também é um conjunto convexo.

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