5.1.7 Uma bomba centrifuga apresenta as seguintes especificações: espessura uniforme do impulsor de 4 pol., raio de entrada de 1 pé, raio de saída de 2,5 pés, \beta_{i}=120^{\circ} e \beta_{o}=135^{\circ}. A bomba distribui uma taxa de fluxo de 70 cfs (pés { }^{3} / \mathrm{s} ) ao ultrapassar uma altura de 33 pés. Se a bomba girar a uma velocidade tal que não exista nenhum componente de velocidade tangencial na entrada (entrada sem choque), qual a velocidade rotacional (em rpm) da bomba? Calcule também a potência de entrada (em hp) da bomba.

Passo 1

O enunciado descreve uma bomba centrífuga com raio de entrada r_{1}=1 ft, raio de saída r_{2}=2{,}5 ft, espessura do impelidor b=4 pol. (ou seja, b=4/12=0{,}3333 ft), ângulo das pás na entrada \beta_{i}=120^\circ e na saída \beta_{o}=135^\circ. A vazão é Q=70 cfs e a altura manométrica é H=33 ft. A bomba opera sem componente tangencial na entrada ( V_{u1}=0).
Conteúdo a usar: diagramas de velocidade (triângulos de velocidade), relação meridional, triângulo de velocidades na saída, equação de Euler para bomba
O que vamos precisar:
1. Área de fluxo na saída e velocidade meridional V_{m2} 2. Relação entre V_{m2}, velocidade relativa W_{2} e ângulo \beta_{o} 3. Componente tangencial da velocidade absoluta na saída V_{u2} 4. Equação de Euler para achar U_{2} e daí rotação
5. Potência hidráulica P=\gamma QH convertida para hp

Passo 2

Calcular a área de fluxo na saída e a velocidade meridional:
A seção de fluxo na saída é
A_{2}=2\pi\,r_{2}\,b
onde r_{2}=2{,}5 ft e b=0{,}3333 ft.
A_{2}=2\pi\cdot2{,}5\cdot0{,}3333\approx5{,}236\text{ ft}^2.
Portanto a componente meridional da velocidade na saída é
V_{m2}=\frac{Q}{A_{2}} =\frac{70}{5{,}236}\approx13{,}37\text{ ft/s}.

Passo 3

Relacionar V_{m2} com a velocidade relativa W_{2} e o ângulo \beta_{o}.
No triângulo de velocidades na saída, o componente radial (meridional) de W_{2} satisfaz
V_{m2}=W_{2}\,\sin\beta_{o}.
Logo, com \beta_{o}=135^\circ ( \sin135^\circ=0{,}7071),
W_{2}=\frac{V_{m2}}{\sin\beta_{o}} =\frac{13{,}37}{0{,}7071}\approx18{,}90\text{ ft/s}.

Passo 4

Determinar o componente tangencial da velocidade absoluta na saída, V_{u2}.
Pelo diagrama vetorial:
V_{u2}=U_{2}+W_{2}\cos\beta_{o}.
Como \cos135^\circ=-0{,}7071, tem-se
W_{2}\cos\beta_{o}=18{,}90\cdot(-0{,}7071)\approx-13{,}37\text{ ft/s},
portanto
V_{u2}=U_{2}-13{,}37.

Passo 5

Aplicar a equação de Euler para bombas, sem pré-vorticidade na entrada:
g \cdot H = U_{2} \cdot V_{u2} - U_{1} \cdot V_{u1} \quad\Longrightarrow\quad g \cdot H = U_{2} \cdot V_{u2},
pois V_{u1} = 0.
Substituindo V_{u2} = U_{2} - 13{,}37 e g = 32{,}2,ft/s ^2, H = 33,ft:
32{,}2 \times 33 = U_{2} \bigl(U_{2} - 13{,}37\bigr).
Isso dá
1062{,}6 = U_{2}^{2} - 13{,}37 \cdot U_{2},
ou
U_{2}^{2} - 13{,}37 \cdot U_{2} - 1062{,}6 = 0.
Resolvendo a equação quadrática, descarta-se a raiz negativa e obtém-se
U_{2} \approx 39{,}95\text{ ft/s}.

Passo 6

Calcular a velocidade angular e a rotação em rpm.
\omega = \frac{U_{2}}{r_{2}} =\frac{39{,}95}{2{,}5}\approx15{,}98\text{ s}^{-1},
n = \frac{\omega}{2\pi}\times60 =\frac{15{,}98}{2\pi}\times60\approx152{,}6\text{ rpm}.

Passo 7

Calcular a potência de entrada (potência hidráulica).
A carga específica é \gamma = 62{,}4,lbf/ft ^3, logo
P = \gamma \cdot Q \cdot H = 62{,}4 \cdot 70 \cdot 33 \approx 144\,144\text{ ft\cdot lbf/s}.
Convertendo para hp ( 1 hp = 550 ft\cdot lbf/s):
P_{\text{hp}} = \frac{144\,144}{550} \approx 262{,}1\text{ hp}.

Resposta

Velocidade de rotação n\approx153 rpm
Potência de entrada P\approx262 hp

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