In cylindrical coordinates,
.
If the region
is free space while the surfaces
and
are conductors, specify the surface charge density on each conductor:
If the region
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos em coordenadas cilíndricas um potencial
no espaço livre entre dois cilindros condutores
m e
m. A tarefa é achar a densidade de carga superficial
em cada condutor.
Conteúdo: eletrostática (relação entre potencial , campo elétrico
e condição de contorno em superfícies condutoras). Vamos precisar de:
Conteúdo: eletrostática (relação entre potencial
- cálculo do gradiente em coordenadas cilíndricas;
- relação
; - condição de contorno
(com componente normal ao condutor).
Passo 2
Primeiro, calcula o campo elétrico na região livre:
Em coordenadas cilíndricas o único termo é a derivada em
:
Passo 3
Agora a teoria da densidade de carga superficial:
Num condutor em equilíbrio eletrostático, toda carga livre fica na superfície, e vale
Num condutor em equilíbrio eletrostático, toda carga livre fica na superfície, e vale
onde
é o componente do campo elétrico no lado do espaço livre, na direção do vetor normal que parte da superfície para o espaço livre.
Passo 4
Identifica as normais em cada superfície:
- Para o cilindro interno (
m), o espaço livre está em , então o normal unitário para fora do condutor (para o espaço) é . - Para o cilindro externo (
m), o espaço livre está em , então o normal para o espaço livre é .
Passo 5
Avalia
em cada superfície e faz o produto escalar com o normal:
- Em
m:
Normal
, logo
- Em
m:
Normal
, então