In cylindrical coordinates, V=1000 rho^2.
If the region 0.1 is free space while the surfaces rho=0.1 and rho=0.3 m are conductors, specify the surface charge density on each conductor:

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos em coordenadas cilíndricas um potencial
V(rho)=1000,rho^2
no espaço livre entre dois cilindros condutores  m e  m. A tarefa é achar a densidade de carga superficial em cada condutor.
Conteúdo: eletrostática (relação entre potencial , campo elétrico e condição de contorno em superfícies condutoras). Vamos precisar de:
  • cálculo do gradiente em coordenadas cilíndricas;
  • relação ;
  • condição de contorno (com componente normal ao condutor).

Passo 2

Primeiro, calcula o campo elétrico na região livre:
E=-nabla V
Em coordenadas cilíndricas o único termo é a derivada em partial Vpartial rho=2000,rho Longrightarrow E=-2000,rho,rho :

Passo 3

Agora a teoria da densidade de carga superficial:
Num condutor em equilíbrio eletrostático, toda carga livre fica na superfície, e vale
sigma ;=; varepsilon0,En
onde é o componente do campo elétrico no lado do espaço livre, na direção do vetor normal que parte da superfície para o espaço livre.

Passo 4

Identifica as normais em cada superfície:
  • Para o cilindro interno (  m), o espaço livre está em , então o normal unitário para fora do condutor (para o espaço) é .
  • Para o cilindro externo (  m), o espaço livre está em , então o normal para o espaço livre é .

Passo 5

Avalia E(0.1)=-2000,(0.1),rho=-200,rho em cada superfície e faz o produto escalar com o normal:
  1. Em En = Ecdotn=(-200,rho)cdot(rho)=-200  m:
E(0.3)=-2000,(0.3),rho=-600,rho
Normal En = (-600,rho)cdot(-rho)=+600 , logo
  1. Em  m:
Normal , então

Resposta

sigmal(rho=0.1rm mr)=-200,varepsilon0 , sigmal(rho=0.3rm mr)=+600,varepsilon0

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