Two identical conducting plates, each having area
, are located at
and
. The region between plates is filled with a material having
-dependent conductivity,
, where
is a constant. Voltage
is applied to the plate at
; the plate at
is at zero potential. Find, in terms of the given parameters:
the total current flowing between plates:
the total current flowing between plates:
Passo 1
Beleza, olha o que o enunciado tá pedindo: a gente tem duas placas condutoras paralelas, cada uma de área
, em
e
. Entre elas há um material cuja condutividade varia com a altura:
A placa de cima (
) tá a potencial
e a de baixo (
) a zero. Queremos achar a corrente total que sai de uma placa e chega na outra.
Conteúdo da matéria: condução elétrica contínua, Lei de Ohm local ( ) e relação entre campo elétrico e potencial (
). Precisamos integrar ao longo de
.
Conteúdo da matéria: condução elétrica contínua, Lei de Ohm local (
Passo 2
Primeiro, lembra que em regime estacionário a corrente que atravessa cada fatia horizontal tem que ser a mesma (não acumula carga). Então a densidade de corrente na direção
, que chamamos de
, é constante:
Também vale, localmente, a Lei de Ohm:
onde
é o campo elétrico em
. Como o campo é só na direção
, escrevemos
.
Passo 3
Ligamos o campo elétrico com a diferença de potencial:
Aqui assume-se que o potencial varia só com
. O sinal menos só indica que o campo aponta do potencial alto pro baixo, mas a gente vai cuidar dos sinais no cálculo do valor absoluto da diferença.
Passo 4
Juntando tudo:
Agora a diferença de potencial
entre
e
é
A integral é
Então
Passo 5
Por fim, a corrente total que atravessa a placa de área
é