Two identical conducting plates, each having area A, are located at z=0 and z=d. The region between plates is filled with a material having z-dependent conductivity, sigma(z)=sigma0 e^-z / d, where sigma0 is a constant. Voltage V0 is applied to the plate at z=d; the plate at z=0 is at zero potential. Find, in terms of the given parameters:
the total current flowing between plates:

Passo 1

Beleza, olha o que o enunciado tá pedindo: a gente tem duas placas condutoras paralelas, cada uma de área sigma(z)=sigma0e^-z/d, , em e . Entre elas há um material cuja condutividade varia com a altura:
A placa de cima ( ) tá a potencial e a de baixo ( ) a zero. Queremos achar a corrente total que sai de uma placa e chega na outra.
Conteúdo da matéria: condução elétrica contínua, Lei de Ohm local ( ) e relação entre campo elétrico e potencial ( ). Precisamos integrar ao longo de .

Passo 2

Primeiro, lembra que em regime estacionário a corrente que atravessa cada fatia horizontal tem que ser a mesma (não acumula carga). Então a densidade de corrente na direção J(z)=J=constante , que chamamos de J=sigma(z),E(z), , é constante:
Também vale, localmente, a Lei de Ohm:
onde é o campo elétrico em . Como o campo é só na direção , escrevemos .

Passo 3

Ligamos o campo elétrico com a diferença de potencial:
Ez(z)=-dVdz
Aqui assume-se que o potencial varia só com . O sinal menos só indica que o campo aponta do potencial alto pro baixo, mas a gente vai cuidar dos sinais no cálculo do valor absoluto da diferença.

Passo 4

Juntando tudo:
J=sigma(z),E(z) Longrightarrow E(z)=Jsigma(z)=Jsigma0,e^-z/d=J,e^z/dsigma0
Agora a diferença de potencial V0=integral0^dE(z),dz =integral0^dJe^z/dsigma0,dz =Jsigma0integral0^de^z/d,dz entre integral0^de^z/d,dz =dl[e^z/dr]0^d =d,(e^1-1)=d,(e-1) e V0=Jsigma0,d,(e-1) Longrightarrow J=V0,sigma0d,(e-1) é
A integral é
Então

Passo 5

Por fim, a corrente total que atravessa a placa de área I=J,A =V0,sigma0d,(e-1),A é

Resposta

boxed,I=sigma0,A,V0d,(e-1),

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