In cylindrical coordinates,
.
What is the total charge in a
length of the free space region,
(not including the conductors)?
What is the total charge in a
Passo 1
Beleza, o exercício diz que, em coordenadas cilíndricas, a função potencial é
e pede a carga total num pedaço de 1 m de comprimento, na região livre de condutores entre
Conteúdo: a gente vai usar a equação de Poisson em eletrostática, que liga o laplaciano do potencial à densidade de carga volumétrica:
O que precisaremos:
- Calcular
- A densidade de carga
- Integrar
Passo 2
Vamos achar
. Em coordenadas cilíndricas, para
só:
Como
, temos
Logo
Passo 3
Agora achamos a densidade de carga volumétrica usando Poisson:
Isso é constante (negativo) em toda a região livre.
Passo 4
Calculamos o volume do anel cilíndrico de comprimento
m, raios
m e
m:
Passo 5
A carga total é
Substituindo
:
Resposta
A carga total vale aproximadamente