In cylindrical coordinates, V=1000 rho^2.
What is the total charge in a 1-m length of the free space region, 0.1 (not including the conductors)?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que, em coordenadas cilíndricas, a função potencial é
V(rho)=1000,rho^2
e pede a carga total num pedaço de 1 m de comprimento, na região livre de condutores entre nabla^2 V = -rhovvarepsilon0 .
Conteúdo: a gente vai usar a equação de Poisson em eletrostática, que liga o laplaciano do potencial à densidade de carga volumétrica:

O que precisaremos:
- Calcular em coordenadas cilíndricas (só depende de ).
- A densidade de carga .
- Integrar no volume do cilindro anelar de raio interno 0.1 m e externo 0.3 m, comprimento 1 m.

Passo 2

Vamos achar nabla^2 V = 1rhoddrho!l(rho,dVdrhor) . Em coordenadas cilíndricas, para dVdrho=2000,rho, rho,dVdrho=2000,rho^2, ddrhol(2000,rho^2r)=4000,rho só:
nabla^2 V = 1rho,(4000,rho)=4000
Como , temos
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Passo 3

Agora achamos a densidade de carga volumétrica usando Poisson:
rhov = -varepsilon0,nabla^2 V = -varepsilon0,(4000)
Isso é constante (negativo) em toda a região livre.

Passo 4

Calculamos o volume do anel cilíndrico de comprimento Vanel = pi,(b^2 - a^2),L = pi,(0.3^2-0.1^2)times1 = pi,(0.09-0.01)=0.08,pi;m^3 m, raios m e m:

Passo 5

A carga total é
Q = rhov ;Vanel = l(-varepsilon0,4000r)times(0.08pi) = -4000times0.08pi,varepsilon0 = -320pi,varepsilon0
Substituindo Q approx -320pitimes8.85times10^-12 approx -8.9times10^-9,C :

Resposta

A carga total vale aproximadamente
boxedQ approx -8,9times10^-9 C

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