Two identical conducting plates, each having area A, are located at z=0 and z=d. The region between plates is filled with a material having z-dependent conductivity, sigma(z)=sigma0 e^-z / d, where sigma0 is a constant. Voltage V0 is applied to the plate at z=d; the plate at z=0 is at zero potential. Find, in terms of the given parameters:
the electric field intensity E within the material:

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é que temos duas placas paralelas em sigma(z)=sigma0 e^-z/d, (potencial zero) e (potencial ), com um material entre elas cuja condutividade varia como
O conteúdo é basicamente corrente estacionária em meios condutores: vamos usar
  1. conservação de carga (∇·J=0 ⇒ J constante em z),
  2. lei de Ohm local ,
  3. relação entre campo e diferença de potencial .

Passo 2

Como não há acúmulo de carga em regime estacionário, vale ∇·J=0 em toda a região, o que implica que o fluxo de corrente só tem componente e é constante ao longo de . Chamamos esse valor de .

Passo 3

Pela lei de Ohm local temos
J=sigma(z),Ez(z) Longrightarrow Ez(z)=Jsigma(z)=Jsigma0,e^z/d,

Passo 4

Agora usamos a definição de potencial:
V0 = phi(d)-phi(0) = -integral0^dEz(z),dz = -integral0^dJsigma0e^z/d,dz
Fazendo a integral:
V0 = -Jsigma0[ d,e^z/d]0^d = -J,dsigma0(e-1)
Como |J|=sigma0,V0d,(e-1) , é negativo (corre pra baixo), mas vamos achar a magnitude:

Passo 5

Volta pro campo:
Ez(z)=Jsigma0e^z/d Longrightarrow Ez(z)=-|J|sigma0e^z/d =-V0d,(e-1),e^z/d,,
onde o sinal “ ” indica que o campo aponta pra baixo (sentido negativo de ).

Resposta

boxed E(z) ;=; -, z,V0d,(e-1),e^,z/d
ou seja, o campo cresce exponencialmente de a e aponta no sentido de redução de .

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