In Exercises 51-56, find the limit of
f
as
(x, y) \rightarrow(0,0)
or show that the limit does not exist.
f(x, y)=\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y)=\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). Isso envolve limite de funções de duas variáveis; uma forma prática é usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 e \theta é o ângulo.

Passo 3

Substituindo em f, temos
f(r,\theta) = \frac{(r\cos\theta)^{3} - (r\cos\theta)(r\sin\theta)^{2}}{r^{2}} = \frac{r^{3}\cos\theta\bigl(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\bigr)}{r^{2}} = r\,\cos\theta\,\cos(2\theta).

Passo 4

Como \cos\theta\cos(2\theta) é limitado,
\lim_{r\to0}r\,\cos\theta\,\cos(2\theta)=0
para todo \theta. Portanto, o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existe e vale 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados