By considering different paths of approach, show that the functions in have no limit as
(x, y) \rightarrow(0,0)
.
f(x, y)=\frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x,y)=\frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}}
não tem limite quando (x,y)\to(0,0).
O conteúdo usado é o teste de limites por caminhos: se ao aproximarmos por duas curvas obtemos valores diferentes, o limite não existe.

Passo 2

Vamos à aproximação pelo eixo x, i.e.\ tomar y=0. Então, para x\neq0,
f(x,0)=\frac{x^{4}-0}{x^{4}+0}=1.
Ao fazermos x\to0, esse valor tende a
\lim_{x\to0}f(x,0)=1.

Passo 3

Agora aproximamos por uma parábola, por exemplo y=x^{2}. Para x\neq0,
f\bigl(x,x^{2}\bigr) =\frac{x^{4}-(x^{2})^{2}}{x^{4}+(x^{2})^{2}} =\frac{x^{4}-x^{4}}{x^{4}+x^{4}} =\frac{0}{2x^{4}} =0.
Logo
\lim_{x\to0}f\bigl(x,x^{2}\bigr)=0.

Passo 4

Como pelo eixo x o limite é 1 e pela parábola y=x^{2} o limite é 0, obtemos resultados diferentes em dois caminhos. Portanto o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

A função não tem limite em (0,0).

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