At what points
(x, y)
in the plane are the functions in continuous?
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar em quais pontos (x,y) do plano a função
f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
é contínua. Vamos usar que a continuidade de uma composição de funções depende do domínio de cada uma e de sua continuidade nos pontos de interesse.

Passo 2

Para que \ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) esteja bem definido, o argumento x^{2}+y^{2} deve ser positivo, isto é,
x^{2}+y^{2}>0.
Isso exclui apenas o ponto (0,0), pois em qualquer outro ponto a soma dos quadrados é estritamente maior que zero.

Passo 3

A função g(x,y)=x^{2}+y^{2} é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (polinômio). A função \ln(u) é contínua para todo u>0. Logo, a composição
f(x,y)=\ln\bigl(g(x,y)\bigr)
é contínua em todos os pontos onde g(x,y)>0.

Passo 4

Como o único ponto em que x^{2}+y^{2}=0 é (0,0), concluímos que f é contínua em todos os pontos do plano exceto na origem.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>0\}, ou seja, em todo o plano menos no ponto (0,0).

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