In Exercises 51-56, find the limit of
f
as
(x, y) \rightarrow(0,0)
or show that the limit does not exist.
f(x, y)=\tan ^{-1}\left(\frac{|x|+|y|}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y)=\tan^{-1}\!\biggl(\frac{|x|+|y|}{x^2+y^2}\biggr)
quando (x,y)\to(0,0). Vamos usar limites em duas variáveis e coordenadas polares para estimar esse quociente.

Passo 2

Passamos para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com r=\sqrt{x^2+y^2}\to0^+. Então
|x|+|y| = r\bigl(|\cos\theta|+|\sin\theta|\bigr), \quad x^2+y^2 = r^2,
logo o argumento de \tan^{-1} fica
\frac{|x|+|y|}{x^2+y^2} = \frac{r\bigl(|\cos\theta|+|\sin\theta|\bigr)}{r^2} = \frac{|\cos\theta|+|\sin\theta|}{r}.

Passo 3

Note que para todo ângulo \theta temos
1 \le |\cos\theta|+|\sin\theta|\le \sqrt2,
portanto
\frac{|\cos\theta|+|\sin\theta|}{r}\ge \frac{1}{r}\to +\infty \quad\text{quando }r\to0^+.

Passo 4

Como o argumento de \tan^{-1} tende a +\infty, pela propriedade
\lim_{u\to+\infty}\tan^{-1}(u)=\frac{\pi}{2},
segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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