In Exercises 51-56, find the limit of
f
as
(x, y) \rightarrow(0,0)
or show that the limit does not exist.
f(x, y)=\frac{2 x}{x^{2}+x+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
para
f(x,y)=\frac{2x}{x^{2}+x+y^{2}}.
Como o ponto (0,0) anula o denominador, a função não está definida ali. Vamos investigar se existe um valor único quando (x,y)\to(0,0) por caminhos diferentes.

Passo 2

Aproximando pela reta y=0. Nesse caso temos
f(x,0)=\frac{2x}{x^{2}+x+0}=\frac{2x}{x(x+1)}=\frac{2}{x+1}.
Ao fazer x\to0, vem
\frac{2}{x+1}\;\longrightarrow\;\frac{2}{1}=2.
Logo, ao longo de y=0, o limite é 2.

Passo 3

Aproximando pela curva x=-y^{2}. Substituindo, o numerador fica -2y^{2} e o denominador
(-y^{2})^{2}+(-y^{2})+y^{2}=y^{4}-y^{2}+y^{2}=y^{4}.
Portanto
f(-y^{2},y)=\frac{-2y^{2}}{y^{4}}=-\frac{2}{y^{2}},
e quando y\to0 isso diverge para -\infty. Não é um valor finito.

Passo 4

Como em um caminho o valor se aproxima de 2 e em outro diverge para -\infty, não há um único valor limite.

Resposta

O limite não existe.

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