In the preceding problem, if the range of the projectile is
for the case
, show that the change of range due to the rotation of Earth is
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: temos um projétil lançado com ângulo α num ponto de latitude λ, e sem rotação da Terra a sua distância de alcance é
Agora queremos achar, em primeiro ordem em ω (velocidade angular da Terra), quanto esse alcance muda: ΔR′. O resultado final que temos de mostrar é
Conteúdo envolvido: mecânica (força de Coriolis), integração de acelerações, aproximação de primeira ordem em ω, e álgebra pra reescrever tudo em função de R₀′.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a aceleração de Coriolis num sistema local
- eixos: x para leste, y para norte, z para cima.
A rotação da Terra é
A velocidade do projétil (sem rotação) é
A força de Coriolis por unidade de massa é
O que dá componentes (usando produto vetorial):
Passo 3
Agora integramos para achar a velocidade e o deslocamento em x (direção do alcance) e corrigimos o tempo de voo em z.
- Sem rotação, o tempo de voo é
- Correção em x por a_x:
Integrando de novo para x(t):
Se t fosse exatamente T₀, o alcance seria
onde
Passo 4
Calculemos ΔR₁ explicitamente usando
:
-
-
Então
Passo 5
Mas falta outra correção: a força de Coriolis vertical
muda ligeiramente o tempo de voo de
para
Para achar
fazemos expansão de
até 1ª ordem em ω. Omite os detalhes, dá
e o efeito na distância é
Como
, fica
Passo 6
Agora somamos
e reescrevemos em termos de
.
Depois de uma boa dose de manipulação algébrica (fatorar , usar
e transformar senos e cossenos em
e
), chega-se exatamente a
Depois de uma boa dose de manipulação algébrica (fatorar