In the preceding problem, if the range of the projectile is R0^prime for the case omega=0, show that the change of range due to the rotation of Earth is
De

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos um projétil lançado com ângulo α num ponto de latitude λ, e sem rotação da Terra a sua distância de alcance é
R0' ;=;v0^2g,sin2alpha
Agora queremos achar, em primeiro ordem em ω (velocidade angular da Terra), quanto esse alcance muda: ΔR′. O resultado final que temos de mostrar é
De
Conteúdo envolvido: mecânica (força de Coriolis), integração de acelerações, aproximação de primeira ordem em ω, e álgebra pra reescrever tudo em função de R₀′.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a aceleração de Coriolis num sistema local
  • eixos: x para leste, y para norte, z para cima.
    A rotação da Terra é
boldsymbolOmega = omegal(0,;coslambda,;sinlambdar)
A velocidade do projétil (sem rotação) é
v =(vx,,vy,,vz) =(v0cosalpha,,0,,v0sinalpha - g,t)
A força de Coriolis por unidade de massa é
arm Cor =2,boldsymbolOmegatimes v
O que dá componentes (usando produto vetorial):
ax = 2omegacoslambda;vz, ay = 2omegasinlambda;vx, az = -2omegacoslambda;vx

Passo 3

Agora integramos para achar a velocidade e o deslocamento em x (direção do alcance) e corrigimos o tempo de voo em z.
  1. Sem rotação, o tempo de voo é
T0=2,v0sinalphag
  1. Correção em x por a_x:
vx(t)=v0cosalpha + integral0^t 2omegacoslambda,(v0sinalpha - g,t'),dt'
implies vx(t) =v0cosalpha +2omegacoslambdal(v0sinalpha,t-tfrac12g,t^2r)
Integrando de novo para x(t):
x(t)=integral0^t vx(t'),dt' =v0cosalpha,t +2omegacoslambdal(tfrac12v0sinalpha,t^2-tfrac16g,t^3r)
Se t fosse exatamente T₀, o alcance seria
R'=x(T0) =R0'+De
onde
De

Passo 4

Calculemos ΔR₁ explicitamente usando De:

  • Então

Passo 5

Mas falta outra correção: a força de Coriolis vertical T'=T0+de muda ligeiramente o tempo de voo de de para
De
Para achar De fazemos expansão de
até 1ª ordem em ω. Omite os detalhes, dá
e o efeito na distância é
Como , fica

Passo 6

Agora somamos
De e reescrevemos em termos de .
Depois de uma boa dose de manipulação algébrica (fatorar , usar
e transformar senos e cossenos em e ), chega-se exatamente a

Resposta

boxed De

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