If a projectile is fired due east from a point on the surface of Earth at a northern latitude lambda with a velocity of magnitude V0 and at an angle of inclination to the horizontal of alpha, show that the lateral deflection when the projectile strikes Earth is
d=4 V0^3g^2 cdot omega sin lambda cdot sin ^2 alpha cos alpha
where omega is the rotation frequency of Earth.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que a gente dispara um projétil para o leste, numa latitude λ, com velocidade inicial de módulo d=4,V0^3g^2;omegasinlambda;sin^2alphacosalpha e ângulo de elevação . A questão quer saber qual a deflexão lateral (no sentido norte–sul) causada pela rotação da Terra, e mostrar que
Isso é um problema de movimento em referência não-inercial, onde entra a força de Coriolis. Para resolver vamos:
  1. escolher e definir eixos locais (leste, norte, cima),
  2. escrever os vetores e ,
  3. calcular a aceleração de Coriolis ,
  4. achar o tempo de voo do projétil e
  5. integrar essa aceleração para obter o deslocamento lateral .

Passo 2

Definindo um sistema de eixos locais (E: leste, N: norte, U: para cima):
– Vetor velocidade inicial
vec v(0)=l(V0cosalphar),hat e ;+; 0;hat n ;+; l(V0sinalphar),hat u
– Vetor rotação da Terra em ENU:
A Terra gira em torno do eixo polar, que faz ângulo vecomega =;0,hat e ;+;l(omegacoslambdar),hat n ;+;l(omegasinlambdar),hat u com a vertical local. Então

Passo 3

Aceleração de Coriolis é
vec ac=2,vec vtimesvecomega
Fazendo o produto vetorial em componentes ENU, a componente norte (n) dá
an =2;l[-,omega,sinlambda,V0cosalphar] ;approx;-2,omega,sinlambda,V0cosalpha
O sinal só indica direção (para o sul), mas a gente quer o módulo da deflexão, então use .

Passo 4

O tempo total de voo z(t)=V0sinalpha;t-12,g,t^2=0 Longrightarrow T=2,V0sinalphag vem do movimento vertical (queda livre):

Passo 5

Para achar o deslocamento lateral vn(t)=integral0^tan,dt' =2,omega,sinlambda,V0cosalpha;t ao longo do tempo d=integral0^Tvn(t),dt =integral0^T2,omega,sinlambda,V0cosalpha;t;dt =omega,sinlambda,V0cosalpha;T^2 , integramos duas vezes:
d =omega,sinlambda,V0cosalpha ;l(2V0sinalphagr)^2 =4,V0^3g^2;omegasinlambda;sin^2alphacosalpha
e
Agora substitui :

Resposta

boxed,d=4,V0^3g^2;omegasinlambda;sin^2alphacosalpha,

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