Um eletroímã industrial pode ser modelado como um circuito RL, enquanto está sendo energizado com uma fonte de tensão. Se a indutância é de 10 H e as espiras de fio têm 3 \Omega de resistência, quanto tempo é necessário para que uma tensāo constante aplicada energize o eletroímã dentro de 90 \% de seu valor final (ou seja, a corrente é igual a 90 \% do seu valor assintótico)?
O que é: É o valor para o qual a corrente tende quando o tempo tende ao infinito (t \rightarrow \infty).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Indutância: L=10\\ \mathrm{H}.
  • Resistência das espiras: R=3\\ \Omega.
  • Uma tensão constante (valor não especificado, chamarei de V_0) é aplicada ao circuito RL no instante t=0.
  • Pergunta: quanto tempo é necessário para que a corrente atinja 90\% do seu valor final (assintótico), isto é, para que i(t)=0,9\,I_{\infty}, onde I_{\infty} é o valor para t\to\infty.

Passo 2

Vamos derivar a expressão temporal da corrente no circuito RL carregando com uma fonte constante. A equação diferencial que descreve o circuito série RL quando a fonte aplicada é uma tensão constante V_0 é:
L\frac{di}{dt}+R\,i=V_0.
Explicando cada termo:
  • i(t) é a corrente que depende do tempo.
  • L\frac{di}{dt} é a queda de tensão na indutância (proporcional à taxa de variação da corrente).
  • R\,i é a queda de tensão na resistência.
  • V_0 é a tensão constante aplicada.
Para resolver, buscamos a solução geral como soma da solução homogênea e de uma particular.
Solução homogênea (associada à equação L\frac{di}{dt}+R\,i=0):
\frac{di}{dt}=-\frac{R}{L}i \quad\Rightarrow\quad i_h(t)=A e^{-\frac{R}{L}t},
onde A é constante determinada pela condição inicial.
Solução particular (quando o lado direito é constante V_0): a corrente tende para um valor constante I_{\infty} tal que
R\,I_{\infty}=V_0 \quad\Rightarrow\quad I_{\infty}=\frac{V_0}{R}.
Somando as duas:
i(t)=I_{\infty}+A e^{-\frac{R}{L}t}.
Usando condição inicial típica i(0)=0 (circuito sem corrente antes de ligar a fonte), obtemos:
0=I_{\infty}+A \quad\Rightarrow\quad A=-I_{\infty}.
Portanto a expressão final é
i(t)=I_{\infty}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right).
É comum definir a constante de tempo do circuito
\tau=\frac{L}{R},
então a fórmula fica mais simples:
i(t)=I_{\infty}\left(1-e^{-t/\tau}\right).
Interpretação física rápida: \tau é o tempo característico de resposta; após cerca de 1\tau a corrente atinge 1- e^{-1}\approx63{,}2\% do valor final.

Passo 3

Agora imponho a condição do enunciado: queremos i(t)=0,9\,I_{\infty}. Inserindo na expressão:
0,9\,I_{\infty}=I_{\infty}\left(1-e^{-t/\tau}\right).
Cancelando I_{\infty} dos dois lados (note que I_{\infty}\neq0 porque R e V_0 não são zero):
0,9=1-e^{-t/\tau}.
Isolando o termo exponencial:
e^{-t/\tau}=1-0,9=0,1.

Passo 4

Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
-\frac{t}{\tau}=\ln(0,1).
Logo
t=-\tau\ln(0,1)=\tau\ln(10),
pois \ln(0,1)=-\ln(10).
Agora calculamos \tau com os valores dados:
\tau=\frac{L}{R}=\frac{10}{3}\\ \mathrm{s}.
Numericamente
\tau=\frac{10}{3}\approx3,333\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calculando \ln(10) e multiplicando por \tau:
\ln(10)\approx2,302585093,
t=\tau\ln(10)\approx\left(\frac{10}{3}\right)\cdot2,302585093.
Fazendo o produto:
t\approx3,333\ldots\times2,302585093\approx7,675283643\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Arredondando de forma prática para a prova, podemos dar o resultado com três casas decimais ou duas, conforme costume:
  • Valor mais preciso: t\approx7,675\\ \mathrm{s}.
    Observação intuitiva: esse tempo corresponde a cerca de 2{,}3026\\ \tau (ou seja, um pouco mais que 2\tau), o que faz sentido porque em 2\tau a corrente já está em torno de 86{,}5\% do valor final e em 2{,}3026\tau atinge 90\%.

Resposta

t\approx7,675\\ \mathrm{s}

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