Um eletroímã industrial pode ser modelado como um circuito RL, enquanto está sendo energizado com uma fonte de tensão. Se a indutância é de 10 H e as espiras de fio têm
de resistência, quanto tempo é necessário para que uma tensāo constante aplicada energize o eletroímã dentro de
de seu valor final (ou seja, a corrente é igual a
do seu valor assintótico)?
O que é: É o valor para o qual a corrente tende quando o tempo tende ao infinito
.
O que é: É o valor para o qual a corrente tende quando o tempo tende ao infinito
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
- Indutância:
. - Resistência das espiras:
. - Uma tensão constante (valor não especificado, chamarei de
) é aplicada ao circuito RL no instante . - Pergunta: quanto tempo é necessário para que a corrente atinja
do seu valor final (assintótico), isto é, para que , onde é o valor para .
Passo 2
Vamos derivar a expressão temporal da corrente no circuito RL carregando com uma fonte constante. A equação diferencial que descreve o circuito série RL quando a fonte aplicada é uma tensão constante
é:
Explicando cada termo:
-
é a corrente que depende do tempo. -
é a queda de tensão na indutância (proporcional à taxa de variação da corrente). -
é a queda de tensão na resistência. -
é a tensão constante aplicada.
Para resolver, buscamos a solução geral como soma da solução homogênea e de uma particular.
Solução homogênea (associada à equação
):
onde
é constante determinada pela condição inicial.
Solução particular (quando o lado direito é constante
): a corrente tende para um valor constante
tal que
Somando as duas:
Usando condição inicial típica
(circuito sem corrente antes de ligar a fonte), obtemos:
Portanto a expressão final é
É comum definir a constante de tempo do circuito
então a fórmula fica mais simples:
Interpretação física rápida:
é o tempo característico de resposta; após cerca de
a corrente atinge
do valor final.
Passo 3
Agora imponho a condição do enunciado: queremos
. Inserindo na expressão:
Cancelando
dos dois lados (note que
porque
e
não são zero):
Isolando o termo exponencial:
Passo 4
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Logo
pois
.
Agora calculamos
com os valores dados:
Numericamente
Passo 5
Calculando
e multiplicando por
:
Fazendo o produto:
Passo 6
Arredondando de forma prática para a prova, podemos dar o resultado com três casas decimais ou duas, conforme costume:
- Valor mais preciso:
.
Observação intuitiva: esse tempo corresponde a cerca de(ou seja, um pouco mais que ), o que faz sentido porque em a corrente já está em torno de do valor final e em atinge .