Indique se a afirmação dada é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta
Se
é uma matriz
não nula, então
contém pelo menos um vetor não-nulo.
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente tem uma matriz
que é de tamanho
e não é zero. A afirmação diz que a interseção entre o núcleo de
(chamado de
) e o espaço gerado por
(chamado de
) contém pelo menos um vetor não nulo. Nosso objetivo é descobrir se isso é verdadeiro ou falso. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e espaço gerado de uma matriz e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma matriz
. O núcleo,
, é o conjunto de todos os vetores
tal que
. Ou seja, são as soluções da equação homogênea associada à matriz
. O núcleo é um subespaço vetorial do espaço de entrada da matriz, que neste caso é
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que significa
. Esse termo geralmente se refere ao espaço coluna de
, que é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de
. Em outras palavras,
é o espaço vetorial gerado pelas colunas de
e é um subespaço de
.
Passo 4
A questão pergunta sobre a interseção entre
e
. Mas aqui precisamos prestar atenção:
está em
e
está em
. A menos que
, esses dois espaços vivem em espaços com dimensões diferentes, então a interseção só pode ser o vetor zero se até mesmo
.
Passo 5
Mesmo que
, para ter um vetor não nulo na interseção, esse vetor precisaria ser tanto uma solução da equação
quanto uma combinação linear das colunas de
. Isso só acontece se houver vetores não nulos que sejam simultaneamente no núcleo e no espaço coluna de
. No entanto, em geral, isso não acontece a menos que a matriz
tenha propriedades especiais, o que não foi garantido na questão.
Passo 6
Portanto, na maioria dos casos, a única interseção entre
e
é o vetor zero. Assim, a afirmação de que há pelo menos um vetor não nulo nessa interseção é falsa.
Resposta
Falso. A interseção entre o núcleo de
e o espaço gerado por
contém apenas o vetor zero.