Indique se a afirmação dada é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta
Se A é uma matriz m times n não nula, então Ker(A) cap lin(A) contém pelo menos um vetor não-nulo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente tem uma matriz que é de tamanho e não é zero. A afirmação diz que a interseção entre o núcleo de (chamado de ) e o espaço gerado por (chamado de ) contém pelo menos um vetor não nulo. Nosso objetivo é descobrir se isso é verdadeiro ou falso. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e espaço gerado de uma matriz e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma matriz . O núcleo, , é o conjunto de todos os vetores tal que . Ou seja, são as soluções da equação homogênea associada à matriz . O núcleo é um subespaço vetorial do espaço de entrada da matriz, que neste caso é .

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa . Esse termo geralmente se refere ao espaço coluna de , que é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de . Em outras palavras, é o espaço vetorial gerado pelas colunas de e é um subespaço de .

Passo 4

A questão pergunta sobre a interseção entre e . Mas aqui precisamos prestar atenção: está em e está em . A menos que , esses dois espaços vivem em espaços com dimensões diferentes, então a interseção só pode ser o vetor zero se até mesmo .

Passo 5

Mesmo que , para ter um vetor não nulo na interseção, esse vetor precisaria ser tanto uma solução da equação quanto uma combinação linear das colunas de . Isso só acontece se houver vetores não nulos que sejam simultaneamente no núcleo e no espaço coluna de . No entanto, em geral, isso não acontece a menos que a matriz tenha propriedades especiais, o que não foi garantido na questão.

Passo 6

Portanto, na maioria dos casos, a única interseção entre e é o vetor zero. Assim, a afirmação de que há pelo menos um vetor não nulo nessa interseção é falsa.

Resposta

Falso. A interseção entre o núcleo de e o espaço gerado por contém apenas o vetor zero.

Exercícios relacionados