Verificar se as seguintes integrais convergem:
integral0^infty cos (t) e^-t d t;

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para verificar se a integral converge. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente envolvendo integrais impróprias onde os limites vão até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como integrar funções que são produtos de exponenciais e funções trigonométricas, além de entender o conceito de convergência de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral convergir. Uma integral é dita convergente se o valor dela é finito. No caso dessa integral, como os limites vão até o infinito, precisamos verificar se, ao aumentar o limite superior, o valor da integral se aproxima de um número específico.

Passo 3

Vamos resolver a integral integral u , dv = u cdot v - integral v , du . Para isso, usamos uma técnica chamada integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos e . Assim, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = -sin(t) dt e v = integral e^-t dt = -e^-t :
integral cos(t) e^-t dt = cos(t) cdot (-e^-t) - integral (-e^-t) cdot (-sin(t)) dt
= -cos(t) e^-t - integral e^-t sin(t) dt
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:

Passo 5

Notamos que ainda temos uma integral com du = cos(t) dt . Vamos integrar novamente por partes, escolhendo v = integral e^-t dt = -e^-t e integral e^-t sin(t) dt = sin(t) cdot (-e^-t) - integral (-e^-t) cos(t) dt .
Calculando = -sin(t) e^-t + integral e^-t cos(t) dt e :
Aplicando a integração por partes:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
integral cos(t) e^-t dt = -cos(t) e^-t - (-sin(t) e^-t + integral e^-t cos(t) dt)
= -cos(t) e^-t + sin(t) e^-t - integral e^-t cos(t) dt
Agora, somamos 2 integral e^-t cos(t) dt = -e^-t (cos(t) - sin(t)) dos dois lados:
integral e^-t cos(t) dt = -e^-t (cos(t) - sin(t))2

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão de [ -e^-t (cos(t) - sin(t))2 ]0^infty a -e^0 (cos(0) - sin(0))2 = -(1)(1 - 0)2 = -12 :
0 - (-12) = 12
Quando , tende a , então a expressão se anula.
Quando :
Então, a integral definida é:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

Exercícios relacionados