Verificar se as seguintes integrais convergem:
;
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para verificar se a integral
converge. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente envolvendo integrais impróprias onde os limites vão até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como integrar funções que são produtos de exponenciais e funções trigonométricas, além de entender o conceito de convergência de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral convergir. Uma integral é dita convergente se o valor dela é finito. No caso dessa integral, como os limites vão até o infinito, precisamos verificar se, ao aumentar o limite superior, o valor da integral se aproxima de um número específico.
Passo 3
Vamos resolver a integral
. Para isso, usamos uma técnica chamada integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos
e
. Assim, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
e
:
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Passo 5
Notamos que ainda temos uma integral com
. Vamos integrar novamente por partes, escolhendo
e
.
Calculando
e
:
Aplicando a integração por partes:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
Agora, somamos
dos dois lados:
Passo 7
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Quando
,
tende a
, então a expressão se anula.
Quando :
Quando
Então, a integral definida é:
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.