Indique se a afirmação dada é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta
Se
é uma matriz
de posto
, então
é inversível
Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada na afirmação: “Se
é uma matriz
de posto
, então
é inversível.” Aqui, estamos falando sobre matrizes quadradas e algo chamado “posto” da matriz. O “posto” de uma matriz é, basicamente, o número máximo de linhas ou colunas linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser inversível e como o posto está relacionado a isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Isso só é possível se a matriz
tiver algumas propriedades específicas.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o posto da matriz. Se uma matriz
de tamanho
tem posto
, isso significa que todas as suas linhas (ou colunas) são linearmente independentes. Em outras palavras, não há linhas redundantes que possam ser escritas como combinação linear de outras linhas.
Passo 4
Uma propriedade importante é que uma matriz quadrada
é inversível se e somente se o seu posto for igual a
. Isso porque um posto máximo indica que a matriz não tem linhas ou colunas dependentes, garantindo que ela possui uma inversa.
Passo 5
Portanto, se
é uma matriz
de posto
, isso automaticamente implica que
é inversível, já que cumpre a condição necessária para possuir uma inversa.
Resposta
A afirmação é Verdadeira (V). Se
é uma matriz
de posto
, então
é inversível.