Indique a afirmação falsa.
(b) Se
é uniformemente contínua em
, então existem
e
tais que
para todo
.
(b) Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A afirmação (b) diz que se temos uma função
que é uniformemente contínua em todo o conjunto dos números reais, então existem dois números não negativos
e
tal que para todo
em
, vale que
. Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser uniformemente contínua. Uma função
é uniformemente contínua em
se, para qualquer
, existe um
tal que para quaisquer
em
, se
, então
. Isso quer dizer que a função não tem “saltos” repentinos e se comporta de forma controlada em todo o domínio.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação
. Essa desigualdade sugere que o valor absoluto da função
cresce no máximo de forma linear em relação a
. Em outras palavras, a função
não pode crescer mais rápido que uma linha reta com inclinação
.
Passo 4
Vamos considerar alguns exemplos de funções uniformemente contínuas para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
-
Exemplo 1:
. Essa função é uniformemente contínua porque é derivável em todo e sua derivada é limitada. Além disso, para todo , então podemos escolher e , satisfazendo . -
Exemplo 2:
. Essa função também é uniformemente contínua, pois sua derivada é constante (igual a 1). Aqui, , então escolhemos e . -
Exemplo 3:
. Essa função é uniformemente contínua porque decai rapidamente para zero conforme aumenta. Podemos encontrar constantes e que satisfaçam .
Passo 5
Observando esses exemplos, percebemos que para funções uniformemente contínuas em
, sempre conseguimos encontrar constantes
e
que fazem a desigualdade
valer para todo
em
. Isso sugere que a afirmação (b) é verdadeira.
Resposta
A afirmação (b) é verdadeira; não é falsa.