Indique a afirmação falsa.
(e) Sejam
um compacto e
contínua. Então
é uniformemente contínua em
.
(e) Sejam
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A afirmação é:
(e) Sejam
um compacto e
contínua. Então
é uniformemente contínua em
.
O conteúdo envolvido aqui são conceitos de continuidade e continuidade uniforme em conjuntos compactos dentro de
. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser compacto, o que é continuidade de uma função e, especialmente, o que é continuidade uniforme.
Passo 2
Primeiro, conjunto compacto em
: Um conjunto
é compacto se ele é fechado e limitado. Isso significa que
contém todos os seus pontos limite e que todos os seus elementos estão dentro de algum intervalo finito.
Passo 3
Agora, a continuidade de uma função
: Dizemos que
é contínua se, para cada ponto
em
e para cada
, existe um
tal que, sempre que
, então
.
Passo 4
A continuidade uniforme vai além:
é uniformemente contínua em
se o
pode ser escolhido de forma independente de
. Ou seja, para todo
, existe um
tal que, para quaisquer
em
, se
, então
.
Passo 5
Existe um teorema importante que relaciona esses conceitos:
Teorema: Toda função contínua definida em um conjunto compacto é uniformemente contínua.
Isso significa que se
é compacto e
é contínua em
, então necessariamente
é uniformemente contínua em
.
Passo 6
Aplicando esse teorema à afirmação (e):
- Dado:
é compacto. - Dado:
é contínua. - Conclusão do teorema:
é uniformemente contínua em .
Portanto, a afirmação (e) está de acordo com o teorema e é verdadeira.
Resposta
A afirmação (e) é verdadeira. Portanto, não é a afirmação falsa buscada pelo exercício.