Indique a afirmação falsa.
(e) Sejam K ⊂ R um compacto e f: K -> R contínua. Então f é uniformemente contínua em K.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A afirmação é:
(e) Sejam um compacto e contínua. Então é uniformemente contínua em .
O conteúdo envolvido aqui são conceitos de continuidade e continuidade uniforme em conjuntos compactos dentro de . Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser compacto, o que é continuidade de uma função e, especialmente, o que é continuidade uniforme.

Passo 2

Primeiro, conjunto compacto em : Um conjunto é compacto se ele é fechado e limitado. Isso significa que contém todos os seus pontos limite e que todos os seus elementos estão dentro de algum intervalo finito.

Passo 3

Agora, a continuidade de uma função : Dizemos que é contínua se, para cada ponto em e para cada , existe um tal que, sempre que , então .

Passo 4

A continuidade uniforme vai além: é uniformemente contínua em se o pode ser escolhido de forma independente de . Ou seja, para todo , existe um tal que, para quaisquer em , se , então .

Passo 5

Existe um teorema importante que relaciona esses conceitos:
Teorema: Toda função contínua definida em um conjunto compacto é uniformemente contínua.
Isso significa que se é compacto e é contínua em , então necessariamente é uniformemente contínua em .

Passo 6

Aplicando esse teorema à afirmação (e):
  • Dado: é compacto.
  • Dado: é contínua.
  • Conclusão do teorema: é uniformemente contínua em .
Portanto, a afirmação (e) está de acordo com o teorema e é verdadeira.

Resposta

A afirmação (e) é verdadeira. Portanto, não é a afirmação falsa buscada pelo exercício.

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